a) A posição angular inicial:
b) A equação \varphi(t) deste movimento,
c) A velocidade escalar desta partícula.
d) A sua frequência
Passo 1
Enunciado e o que é pedido:\n
Dadas as funções de movimento
x(t)=4\operatorname{sen}(10\pi t+\pi/4)
y(t)=4\cos(10\pi t+\pi/4)
Listei o que o enunciado dá (informações relevantes):\n
As coordenadas paramétricas x(t) e y(t).\n
O fator dentro das funções trigonométricas é 10\pi t+\pi/4.\n
O raio (distância ao centro) pode ser obtido pelos valores em x e y.\n
As perguntas que devemos responder:\n
a) A posição angular inicial (ou seja, o ângulo no instante t=0).\n
b) A equação \varphi(t) que dá a posição angular em função do tempo (o ângulo associado à posição da partícula).\n
c) A velocidade escalar (o módulo da velocidade) da partícula.\n
d) A frequência do movimento (número de voltas por segundo).\n
Passo 2
Entender a geometria do movimento (raio constante e relação entre x,y e um ângulo):\n
Calculemos a distância ao centro (o raio) para verificar que é movimento circular com raio constante.\n
A distância ao centro é
Como vale a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1, obtemos
r=\sqrt{16\cdot 1}=4.
Portanto o movimento é circular de raio 4 (constante). Isso confirma que existe um ângulo \varphi(t) bem definido descrevendo a posição angular da partícula.
Passo 3
Calcular a posição angular inicial \varphi(0) (passo a passo):\n
Primeiro avalio x(0) e y(0).\n
Assim \varphi(0) é o ângulo cujo tangente é 1 no primeiro quadrante, ou seja
\varphi(0)=\dfrac{\pi}{4}.
Portanto a posição angular inicial é \varphi(0)=\dfrac{\pi}{4}.
Passo 4
Determinar a equação \varphi(t) do movimento (como função do tempo), com explicação do raciocínio:\n
Denotemos para simplificar \theta(t)=10\pi t+\pi/4. As componentes são x=4\operatorname{sen}\theta e y=4\cos\theta.\n
Queremos \varphi(t) tal que (na convenção polar usual) x= r\cos\varphi e y=r\sin\varphi. Aqui temos uma troca: x está em \operatorname{sen} e y em \cos. Para relacionar \varphi e \theta dividimos y por x:
\varphi(t)=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4}-10\pi t=\tfrac{\pi}{4}-10\pi t.
Comentário intuitivo: isso significa que o ângulo polar \varphi diminui com o tempo (logo a partícula gira no sentido horário), com velocidade angular constante. A expressão encontrada é compatível com \varphi(0)=\pi/4.
Passo 5
Calcular a velocidade escalar (módulo da velocidade) passo a passo e dar a interpretação física:\n
Método 1 (direto pelas derivadas das coordenadas):\n
Derivamos x(t) e y(t) em relação a t. Lembre que se u(t)=\operatorname{sen}(\theta(t)) então u'(t)=\cos(\theta(t))\cdot \theta'(t).\n
Temos \theta'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(10\pi t+\pi/4\big)=10\pi. Então
o mesmo resultado, e mais rápido de interpretar fisicamente.
Passo 6
Calcular a frequência do movimento e relacionar com a velocidade angular:\n
A velocidade angular (angular frequency) em valor absoluto é |\omega|=|\dot{\varphi}(t)|. Já encontramos \dot{\varphi}(t)=-10\pi, logo