A equação cartesiana de um movimento constante é:
\begin{aligned} & x(t)=4 \operatorname{sen}(10 \pi t+\pi / 4) \\\ & y(t)=4 \cos (10 \pi t+\pi / 4) \end{aligned}
a) A posição angular inicial:
b) A equação \varphi(t) deste movimento,
c) A velocidade escalar desta partícula.
d) A sua frequência

Passo 1

Enunciado e o que é pedido:\n
Dadas as funções de movimento
x(t)=4\operatorname{sen}(10\pi t+\pi/4)
y(t)=4\cos(10\pi t+\pi/4)
Listei o que o enunciado dá (informações relevantes):\n
  1. As coordenadas paramétricas x(t) e y(t).\n
  2. O fator dentro das funções trigonométricas é 10\pi t+\pi/4.\n
  3. O raio (distância ao centro) pode ser obtido pelos valores em x e y.\n
    As perguntas que devemos responder:\n
    a) A posição angular inicial (ou seja, o ângulo no instante t=0).\n
    b) A equação \varphi(t) que dá a posição angular em função do tempo (o ângulo associado à posição da partícula).\n
    c) A velocidade escalar (o módulo da velocidade) da partícula.\n
    d) A frequência do movimento (número de voltas por segundo).\n

Passo 2

Entender a geometria do movimento (raio constante e relação entre x,y e um ângulo):\n
Calculemos a distância ao centro (o raio) para verificar que é movimento circular com raio constante.\n
A distância ao centro é
r=\sqrt{x(t)^2+y(t)^2}.
Substituindo x(t) e y(t):
r=\sqrt{[4\operatorname{sen}(10\pi t+\pi/4)]^{2}+[4\cos(10\pi t+\pi/4)]^{2}}.
Fatorando 4^2:
r=\sqrt{16\big(\operatorname{sen}^2(10\pi t+\pi/4)+\cos^2(10\pi t+\pi/4)\big)}.
Como vale a identidade trigonométrica \operatorname{sen}^2\theta+\cos^2\theta=1, obtemos
r=\sqrt{16\cdot 1}=4.
Portanto o movimento é circular de raio 4 (constante). Isso confirma que existe um ângulo \varphi(t) bem definido descrevendo a posição angular da partícula.

Passo 3

Calcular a posição angular inicial \varphi(0) (passo a passo):\n
Primeiro avalio x(0) e y(0).\n
x(0)=4\operatorname{sen}\big(10\pi\cdot 0+\pi/4\big)=4\operatorname{sen}\big(\pi/4\big).
Como \operatorname{sen}(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, segue
x(0)=4\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.
Agora y(0):
y(0)=4\cos\big(10\pi\cdot 0+\pi/4\big)=4\cos\big(\pi/4\big).
Como \cos(\pi/4)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},
y(0)=4\cdot \dfrac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.
Para obter o ângulo inicial usamos a relação entre ângulo polar \varphi e as coordenadas: em coordenadas polares usuais usamos
\varphi=\operatorname{atan2}(y,x),
ou simplesmente \tan\varphi=\dfrac{y}{x} quando x\neq 0 e sabemos o quadrante. Aqui x(0)=y(0)>0, portanto o ponto está no primeiro quadrante e
\tan\varphi(0)=\dfrac{y(0)}{x(0)}=\dfrac{2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}=1.
Assim \varphi(0) é o ângulo cujo tangente é 1 no primeiro quadrante, ou seja
\varphi(0)=\dfrac{\pi}{4}.
Portanto a posição angular inicial é \varphi(0)=\dfrac{\pi}{4}.

Passo 4

Determinar a equação \varphi(t) do movimento (como função do tempo), com explicação do raciocínio:\n
Denotemos para simplificar \theta(t)=10\pi t+\pi/4. As componentes são x=4\operatorname{sen}\theta e y=4\cos\theta.\n
Queremos \varphi(t) tal que (na convenção polar usual) x= r\cos\varphi e y=r\sin\varphi. Aqui temos uma troca: x está em \operatorname{sen} e y em \cos. Para relacionar \varphi e \theta dividimos y por x:
\tan\varphi(t)=\dfrac{y(t)}{x(t)}=\dfrac{4\cos\theta(t)}{4\operatorname{sen}\theta(t)}=\dfrac{\cos\theta(t)}{\operatorname{sen}\theta(t)}=\cot\theta(t).
Usando a identidade \cot\theta=\tan\big(\tfrac{\pi}{2}-\theta\big), obtemos
\tan\varphi(t)=\tan\big(\tfrac{\pi}{2}-\theta(t)\big).
Escolhendo a mesma determinação contínua do ângulo que em t=0 (ou seja, que dá \varphi(0)=\pi/4), podemos tomar
\varphi(t)=\tfrac{\pi}{2}-\theta(t).
Substituindo \theta(t)=10\pi t+\pi/4:
\varphi(t)=\tfrac{\pi}{2}-\big(10\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big).
Operando:
\varphi(t)=\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{4}-10\pi t=\tfrac{\pi}{4}-10\pi t.
Comentário intuitivo: isso significa que o ângulo polar \varphi diminui com o tempo (logo a partícula gira no sentido horário), com velocidade angular constante. A expressão encontrada é compatível com \varphi(0)=\pi/4.

Passo 5

Calcular a velocidade escalar (módulo da velocidade) passo a passo e dar a interpretação física:\n
Método 1 (direto pelas derivadas das coordenadas):\n
Derivamos x(t) e y(t) em relação a t. Lembre que se u(t)=\operatorname{sen}(\theta(t)) então u'(t)=\cos(\theta(t))\cdot \theta'(t).\n
Temos \theta'(t)=\dfrac{d}{dt}\big(10\pi t+\pi/4\big)=10\pi. Então
x'(t)=4\cos\big(10\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big)\cdot 10\pi=40\pi\cos\big(10\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big),
y'(t)=-4\operatorname{sen}\big(10\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big)\cdot 10\pi=-40\pi\operatorname{sen}\big(10\pi t+\tfrac{\pi}{4}\big).
O módulo da velocidade é
v(t)=\sqrt{[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}=\sqrt{(40\pi)^{2}\big(\cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta\big)}.
Usando \cos^2\theta+\operatorname{sen}^2\theta=1:
v(t)=40\pi.
Ou seja, a velocidade escalar é constante e igual a 40\pi (unidades de comprimento por unidade de tempo).
Método 2 (usando relação raio-velocidade angular):\n
Se um movimento circular tem raio r e ângulo \varphi(t), o módulo da velocidade tangencial é
v(t)=r\big|\dot{\varphi}(t)\big|.
Já achamos r=4 e
\dot{\varphi}(t)=\dfrac{d}{dt}\big(\tfrac{\pi}{4}-10\pi t\big)=-10\pi.
Tomando módulo:
v=r\cdot |\dot{\varphi}|=4\cdot 10\pi=40\pi,
o mesmo resultado, e mais rápido de interpretar fisicamente.

Passo 6

Calcular a frequência do movimento e relacionar com a velocidade angular:\n
A velocidade angular (angular frequency) em valor absoluto é |\omega|=|\dot{\varphi}(t)|. Já encontramos \dot{\varphi}(t)=-10\pi, logo
\omega=10\pi\\ \text{(rad/s)} \quad\text{em módulo.}ó
A frequência f (número de voltas por segundo) relaciona-se com \omega por
f=\dfrac{\omega}{2\pi}.
Substituindo \omega=10\pi:
f=\dfrac{10\pi}{2\pi}=5.
Portanto a frequência é 5 (isto é, 5 Hz). Como extra, o período T é T=\dfrac{1}{f}=\dfrac{1}{5}=0{,}2 segundos.

Resposta

\varphi(0)=\dfrac{\pi}{4}\n
\varphi(t)=\dfrac{\pi}{4}-10\pi t\n
v=40\pi\n
f=5

Exercícios relacionados