A equação do movimento circular de uma partícula é dada por:
determinar:
a) O deslocamento no intervalo
b) A velocidade angular média neste intervalo.
c) A aceleração angular média neste intervalo
d) A velocidade instantânea em t =10s.
e) O momento em que a partícula chega a parar.
f) O número de voltas feitos nos 10 s iniciais.
a) O deslocamento no intervalo
c) A aceleração angular média neste intervalo
d) A velocidade instantânea em t =10s.
e) O momento em que a partícula chega a parar.
f) O número de voltas feitos nos 10 s iniciais.
Passo 1
O enunciado dá a função posição angular
e pede seis coisas sobre o movimento no intervalo de tempo e instantes indicados. Lista clara do que é pedido:
- (a) O deslocamento no intervalo
(ou seja, a variação de entre e ). - (b) A velocidade angular média nesse intervalo (deslocamento dividido pelo tempo).
- (c) A aceleração angular média nesse intervalo (variação da velocidade angular dividida pelo tempo).
- (d) A velocidade instantânea em
s (derivada de avaliada em ). - (e) O momento em que a partícula chega a parar (instante em que a velocidade angular é zero).
- (f) O número de voltas (revoluções) feitos nos
s iniciais (deslocamento angular em dividido por ).
Informações relevantes dadas:
Intervalos e instantes a usar:
,
,
,
.
A resolução começa no próximo passo.
A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
(a) Vamos calcular o deslocamento em
, isto é
Primeiro avalio
. Uso a expressão fornecida e calculo termo a termo:
Faço as contas passo a passo:
Somando:
Passo 3
Continuo o item (a) calculando
:
Calculemos:
Somando:
Agora o deslocamento:
Interpretação: a partícula girou um ângulo total de
(unidades do enunciado) entre
e
.
Passo 4
(b) Velocidade angular média no mesmo intervalo: definição prática e fórmula.
Definição: a velocidade média em
é o deslocamento angular dividido pelo intervalo de tempo:
Definição: a velocidade média
Aqui
,
, então
Unidade: unidades angulares por segundo (mesma unidade de
por s).
Passo 5
(c) Para a aceleração angular média precisamos da velocidade angular como função do tempo; isto exige derivar
.
Breve mini-aula: derivada e regras usadas
- A derivada de uma constante é
. - A derivada de
é . - A derivada de
é (regra do potência: ). - A derivada de
é .
Aplicando à nossa função:
Escrevo de forma limpa:
Passo 6
Agora calculo
e
para obter a variação de velocidade:
Calculemos:
Somando:
Agora
:
Calculemos:
Somando:
Variação de velocidade no intervalo:
A aceleração angular média
é
Passo 7
(d) Velocidade instantânea em
s: usar a mesma expressão de
e avaliar em
.
Calcule:
Somando:
Passo 8
(e) Instante em que a partícula para: solução de
.
Temos a equação quadrática
Temos a equação quadrática
Para saber se há solução real calculamos o discriminante
, com
,
,
:
O discriminante é negativo (
), logo a equação não tem raízes reais. Interpretação física:
nunca zera (é sempre positiva para todos os
reais), portanto a partícula não chega a parar em nenhum instante real. Conclusão: não existe tempo real em que a velocidade angular seja zero.
Passo 9
(f) Número de voltas nos
s iniciais: calculo do deslocamento angular entre
e
e divisão por
.
Calculo
e
.
Passo a passo:
Somando:
Deslocamento angular nos 10 s iniciais:
Número de voltas (revoluções) é
Faço a aproximação numérica usando
:
Interpretação: cerca de
voltas completas nos primeiros
s.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e) Não existe instante real em que a partícula pare (a equação
não tem raízes reais; discriminante
).
(f)
voltas.