A equação do movimento circular de uma partícula é dada por:
\varphi(t)=0,75+0,25 t-0,05 t^{2}+t^{3}[s I]
determinar:
a) O deslocamento no intervalo
21 ; 101
b) A velocidade angular média neste intervalo.
c) A aceleração angular média neste intervalo
d) A velocidade instantânea em t =10s.
e) O momento em que a partícula chega a parar.
f) O número de voltas feitos nos 10 s iniciais.

Passo 1

O enunciado dá a função posição angular
\varphi(t)=0,75+0,25\,t-0,05\,t^{2}+t^{3}
e pede seis coisas sobre o movimento no intervalo de tempo e instantes indicados. Lista clara do que é pedido:
  • (a) O deslocamento no intervalo [21;101] (ou seja, a variação de \varphi entre t=21 e t=101).
  • (b) A velocidade angular média nesse intervalo (deslocamento dividido pelo tempo).
  • (c) A aceleração angular média nesse intervalo (variação da velocidade angular dividida pelo tempo).
  • (d) A velocidade instantânea em t=10 s (derivada de \varphi(t) avaliada em t=10).
  • (e) O momento em que a partícula chega a parar (instante em que a velocidade angular é zero).
  • (f) O número de voltas (revoluções) feitos nos 10 s iniciais (deslocamento angular em 0\le t\le10 dividido por 2\pi).
Informações relevantes dadas:
\varphi(t)=0,75+0,25\,t-0,05\,t^{2}+t^{3}.
Intervalos e instantes a usar: t=0, t=10, t=21, t=101.
A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

(a) Vamos calcular o deslocamento em [21;101], isto é
\Delta\varphi=\varphi(101)-\varphi(21).
Primeiro avalio \varphi(101). Uso a expressão fornecida e calculo termo a termo:
\varphi(101)=0,75+0,25\cdot101-0,05\cdot101^{2}+101^{3}.
Faço as contas passo a passo:
0,25\cdot101=25{,}25,
101^{2}=10201\quad\Rightarrow\quad -0,05\cdot10201=-510{,}05,
101^{3}=1\,030\,301.
Somando:
\varphi(101)=0{,}75+25{,}25-510{,}05+1\,030\,301=1\,029\,816{,}95.

Passo 3

Continuo o item (a) calculando \varphi(21):
\varphi(21)=0,75+0,25\cdot21-0,05\cdot21^{2}+21^{3}.
Calculemos:
0,25\cdot21=5{,}25,
21^{2}=441\quad\Rightarrow\quad -0,05\cdot441=-22{,}05,
21^{3}=9\,261.
Somando:
\varphi(21)=0{,}75+5{,}25-22{,}05+9\,261=9\,244{,}95.
Agora o deslocamento:
\Delta\varphi=\varphi(101)-\varphi(21)=1\,029\,816{,}95-9\,244{,}95=1\,020\,572{,}00.
Interpretação: a partícula girou um ângulo total de \,1\,020\,572{,}00 (unidades do enunciado) entre t=21 e t=101.

Passo 4

(b) Velocidade angular média no mesmo intervalo: definição prática e fórmula.
Definição: a velocidade média \bar{\omega} em [t_1,t_2] é o deslocamento angular dividido pelo intervalo de tempo:
\bar{\omega}=\frac{\Delta\varphi}{t_2-t_1}.
Aqui t_1=21, t_2=101, então
\bar{\omega}=\frac{1\,020\,572{,}00}{101-21}=\frac{1\,020\,572{,}00}{80}=12\,757{,}15.
Unidade: unidades angulares por segundo (mesma unidade de \varphi por s).

Passo 5

(c) Para a aceleração angular média precisamos da velocidade angular como função do tempo; isto exige derivar \varphi(t).
Breve mini-aula: derivada e regras usadas
  • A derivada de uma constante é 0.
  • A derivada de a\,t é a.
  • A derivada de b\,t^{2} é 2b\,t (regra do potência: \frac{d}{dt}t^{n}=n t^{n-1}).
  • A derivada de c\,t^{3} é 3c\,t^{2}.
Aplicando à nossa função:
\omega(t)=\frac{d\varphi}{dt}=0+0,25-0,10\,t+3\,t^{2}.
Escrevo de forma limpa:
\omega(t)=0{,}25-0{,}1\,t+3\,t^{2}.

Passo 6

Agora calculo \omega(101) e \omega(21) para obter a variação de velocidade:
\omega(101)=0{,}25-0{,}1\cdot101+3\cdot101^{2}.
Calculemos:
-0{,}1\cdot101=-10{,}1,
101^{2}=10201\quad\Rightarrow\quad 3\cdot10201=30\,603.
Somando:
\omega(101)=0{,}25-10{,}1+30\,603=30\,593{,}15.
Agora \omega(21):
\omega(21)=0{,}25-0{,}1\cdot21+3\cdot21^{2}.
Calculemos:
-0{,}1\cdot21=-2{,}1,
21^{2}=441\quad\Rightarrow\quad 3\cdot441=1\,323.
Somando:
\omega(21)=0{,}25-2{,}1+1\,323=1\,321{,}15.
Variação de velocidade no intervalo:
\Delta\omega=\omega(101)-\omega(21)=30\,593{,}15-1\,321{,}15=29\,272{,}00.
A aceleração angular média \bar{\alpha} é
\bar{\alpha}=\frac{\Delta\omega}{t_2-t_1}=\frac{29\,272{,}00}{80}=365{,}9.

Passo 7

(d) Velocidade instantânea em t=10 s: usar a mesma expressão de \omega(t) e avaliar em t=10.
\omega(10)=0{,}25-0{,}1\cdot10+3\cdot10^{2}.
Calcule:
-0{,}1\cdot10=-1,
10^{2}=100\quad\Rightarrow\quad 3\cdot100=300.
Somando:
\omega(10)=0{,}25-1+300=299{,}25.

Passo 8

(e) Instante em que a partícula para: solução de \omega(t)=0.
Temos a equação quadrática
3\,t^{2}-0{,}1\,t+0{,}25=0.
Para saber se há solução real calculamos o discriminante \Delta=b^{2}-4ac, com a=3, b=-0{,}1, c=0{,}25:
\Delta=(-0{,}1)^{2}-4\cdot3\cdot0{,}25=0{,}01-3=-2{,}99.
O discriminante é negativo ( \Delta=-2{,}99<0), logo a equação não tem raízes reais. Interpretação física: \omega(t) nunca zera (é sempre positiva para todos os t reais), portanto a partícula não chega a parar em nenhum instante real. Conclusão: não existe tempo real em que a velocidade angular seja zero.

Passo 9

(f) Número de voltas nos 10 s iniciais: calculo do deslocamento angular entre t=0 e t=10 e divisão por 2\pi.
Calculo \varphi(10) e \varphi(0).
\varphi(10)=0{,}75+0{,}25\cdot10-0{,}05\cdot10^{2}+10^{3}.
Passo a passo:
0{,}25\cdot10=2{,}5,
10^{2}=100\quad\Rightarrow\quad -0{,}05\cdot100=-5,
10^{3}=1000.
Somando:
\varphi(10)=0{,}75+2{,}5-5+1000=998{,}25.
\varphi(0)=0{,}75+0-0+0=0{,}75.
Deslocamento angular nos 10 s iniciais:
\Delta\varphi_{0\to10}=\varphi(10)-\varphi(0)=998{,}25-0{,}75=997{,}5.
Número de voltas (revoluções) é
N=\frac{\Delta\varphi_{0\to10}}{2\pi}=\frac{997{,}5}{2\pi}.
Faço a aproximação numérica usando \pi\approx3{,}14159265:
2\pi\approx6{,}28318531\quad\Rightarrow\quad N\approx\frac{997{,}5}{6{,}28318531}\approx158{,}757\\ (\text{voltas}).
Interpretação: cerca de 158{,}757 voltas completas nos primeiros 10 s.

Resposta

(a) \Delta\varphi=\varphi(101)-\varphi(21)=1\,020\,572{,}00.
(b) \bar{\omega}=\dfrac{\Delta\varphi}{101-21}=12\,757{,}15.
(c) \bar{\alpha}=\dfrac{\omega(101)-\omega(21)}{101-21}=365{,}9.
(d) \omega(10)=299{,}25.
(e) Não existe instante real em que a partícula pare (a equação \omega(t)=0 não tem raízes reais; discriminante \Delta=-2{,}99<0).
(f) N=\dfrac{\varphi(10)-\varphi(0)}{2\pi}=\dfrac{997{,}5}{2\pi}\approx158{,}757 voltas.

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