O vector posição de uma partícula é dado por \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\left(2 t^{2}\right) \mathbf{i}+(3 t-1) \mathbf{j} metros.
Calcule o vector posição em t=2 \mathrm{~s}, a velocidade média entre t=0 \mathrm{~s} e t=2 \mathrm{~s}, e o raio de curvatura da trajectória em \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}.
a) \vec{r}(2)=(8,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(4,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} ; \mathrm{R} \approx 4,17 \mathrm{~m}
b) \overrightarrow{\mathrm{r}}(2)=(4,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(2,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} R \approx 6,25 \mathrm{~m}
c) \overrightarrow{\mathrm{r}}(2)=(8,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(4,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} R \approx 6,25 \mathrm{~m}
d) \overrightarrow{\mathrm{r}}(2)=(4,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(2,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} R \approx 4,17 \mathrm{~m}
e) Outra resposta

Passo 1

O enunciado dá o vector posição da partícula
\overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\bigl(2t^{2}\bigr)\mathbf{i}+\bigl(3t-1\bigr)\mathbf{j}\quad\text{(metros)}.
As perguntas são:
  1. Calcular o vector posição em t=2\\ \mathrm{s}, ou seja \overrightarrow{\mathbf{r}}(2).
  2. Calcular a velocidade média entre t=0\\ \mathrm{s} e t=2\\ \mathrm{s}, isto é
    \displaystyle \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{m}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}(2)-\overrightarrow{\mathbf{r}}(0)}{2-0}.
  3. Calcular o raio de curvatura da trajectória em t=1\\ \mathrm{s}, isto é R(1).
As informações relevantes dadas são as componentes de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) (as funções de t) e os instantes onde avaliar.

Passo 2

Calcular \overrightarrow{\mathbf{r}}(2).
Substituímos t=2 em cada componente:
x(t)=2t^{2}\quad\Rightarrow\quad x(2)=2\cdot 2^{2}=2\cdot 4=8,
y(t)=3t-1\quad\Rightarrow\quad y(2)=3\cdot 2-1=6-1=5.
Portanto
\overrightarrow{\mathbf{r}}(2)=(8,5)\\ \text{m}.

Passo 3

Calcular a velocidade média entre t=0 e t=2.
Primeiro avaliamos \overrightarrow{\mathbf{r}}(0):
x(0)=2\cdot 0^{2}=0,\qquad y(0)=3\cdot 0-1=-1,
logo \overrightarrow{\mathbf{r}}(0)=(0,-1)\\ \text{m}. A diferença de posição é
\overrightarrow{\mathbf{r}}(2)-\overrightarrow{\mathbf{r}}(0)=(8,5)-(0,-1)=(8,6).
A velocidade média é essa diferença dividida pelo intervalo de tempo 2-0=2 s:
\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{m}}=\frac{(8,6)}{2}=(4,3)\\ \text{m/s}.
Interpretação prática: em média a partícula deslocou-se 4 m/s na direção x e 3 m/s na direção y durante os 2 s.

Passo 4

Explicar como calcular o raio de curvatura R.
Para uma curva no plano dada por x(t) e y(t), a curvatura (magnitude) \kappa(t) pode ser calculada por
\kappa(t)=\frac{\bigl|x'(t)\,y''(t)-y'(t)\,x''(t)\bigr|}{\bigl(x'(t)^{2}+y'(t)^{2}\bigr)^{3/2}}.
O raio de curvatura é R(t)=\dfrac{1}{\kappa(t)}.
Outra forma equivalente (útil) é usar velocidade \mathbf{v}= \mathbf{r}' e aceleração \mathbf{a}=\mathbf{r}'':
R(t)=\frac{\lVert\mathbf{v}(t)\rVert^{3}}{\lVert\mathbf{v}(t)\times\mathbf{a}(t)\rVert}.
Aqui \times é o produto vetorial em 3D; para curvas no plano o módulo do produto vetorial reduz-se ao determinante x'y''-y'x''. Vou usar a fórmula com derivadas explícitas (primeira forma), que é direta e fácil de aplicar.

Passo 5

Calcular derivadas e aplicar a fórmula em t=1.
Derivadas das componentes (ensinar a derivar):
Para x(t)=2t^{2} a derivada é x'(t)=4t e a segunda derivada é x''(t)=4 (porque a derivada de t^{2} é 2t, multiplicando constantes).
Para y(t)=3t-1 a derivada é y'(t)=3 e a segunda derivada é y''(t)=0 (derivada de constante é zero).
Agora avaliamos em t=1:
x'(1)=4\cdot 1=4,\qquad x''(1)=4,
y'(1)=3,\qquad y''(1)=0.
Calcular o numerador do \kappa:
\bigl|x'(1)\,y''(1)-y'(1)\,x''(1)\bigr|=\bigl|4\cdot 0-3\cdot 4\bigr|=\bigl|-12\bigr|=12.
Calcular o denominador:
\bigl(x'(1)^{2}+y'(1)^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(4^{2}+3^{2}\bigr)^{3/2}=\bigl(16+9\bigr)^{3/2}=25^{3/2}.
Lembrando que 25^{1/2}=5, então 25^{3/2}=5^{3}=125.
Portanto a curvatura em t=1 é
\kappa(1)=\frac{12}{125}.
O raio de curvatura é o inverso:
R(1)=\frac{1}{\kappa(1)}=\frac{125}{12}.

Passo 6

Dar o valor numérico e interpretação, com arredondamento.
O valor exato é \displaystyle R(1)=\frac{125}{12}\\ \text{m}. Em decimal:
\frac{125}{12}\approx 10{,}4167\\ \text{m}.
Interpretação rápida: em t=1 a trajectória tem curvatura \kappa(1)=12/125, o que corresponde a um raio de curvatura de aproximadamente 10{,}42 m — ou seja, localmente a curva “aproxima-se” de um círculo de raio \approx 10{,}42 m.

Resposta

\overrightarrow{\mathbf{r}}(2)=(8,5)\\ \text{m}
\overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{m}}=(4,3)\\ \text{m/s}
R(1)=\dfrac{125}{12}\\ \text{m}\approx 10{,}4167\\ \text{m}

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