O vector posição de uma partícula é dado por \overrightarrow{\mathbf{r}}(t)=\left(2 t^{2}\right) \mathbf{i}+(3 t-1) \mathbf{j} metros.
Calcule o vector posição em t=2 \mathrm{~s}, a velocidade média entre t=0 \mathrm{~s} e t=2 \mathrm{~s}, e o raio de curvatura da trajectória em \mathrm{t}=1 \mathrm{~s}.
a) \vec{r}(2)=(8,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(4,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} ; \mathrm{R} \approx 4,17 \mathrm{~m}
b) \overrightarrow{\mathrm{r}}(2)=(4,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(2,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} R \approx 6,25 \mathrm{~m}
c) \overrightarrow{\mathrm{r}}(2)=(8,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(4,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} R \approx 6,25 \mathrm{~m}
d) \overrightarrow{\mathrm{r}}(2)=(4,5) \mathrm{m} ; \overrightarrow{\mathrm{v}} \mathrm{m}=(2,3) \mathrm{m} / \mathrm{s} R \approx 4,17 \mathrm{~m}
e) Outra resposta
Calcular o vector posição em t=2\\ \mathrm{s}, ou seja \overrightarrow{\mathbf{r}}(2).
Calcular a velocidade média entre t=0\\ \mathrm{s} e t=2\\ \mathrm{s}, isto é \displaystyle \overrightarrow{\mathbf{v}}_{\text{m}}=\frac{\overrightarrow{\mathbf{r}}(2)-\overrightarrow{\mathbf{r}}(0)}{2-0}.
Calcular o raio de curvatura da trajectória em t=1\\ \mathrm{s}, isto é R(1).
As informações relevantes dadas são as componentes de \overrightarrow{\mathbf{r}}(t) (as funções de t) e os instantes onde avaliar.
Passo 2
Calcular \overrightarrow{\mathbf{r}}(2).
Substituímos t=2 em cada componente:
O raio de curvatura é R(t)=\dfrac{1}{\kappa(t)}.
Outra forma equivalente (útil) é usar velocidade \mathbf{v}= \mathbf{r}' e aceleração \mathbf{a}=\mathbf{r}'':
Aqui \times é o produto vetorial em 3D; para curvas no plano o módulo do produto vetorial reduz-se ao determinante x'y''-y'x''. Vou usar a fórmula com derivadas explícitas (primeira forma), que é direta e fácil de aplicar.
Passo 5
Calcular derivadas e aplicar a fórmula em t=1.
Derivadas das componentes (ensinar a derivar):
Para x(t)=2t^{2} a derivada é x'(t)=4t e a segunda derivada é x''(t)=4 (porque a derivada de t^{2} é 2t, multiplicando constantes).
Para y(t)=3t-1 a derivada é y'(t)=3 e a segunda derivada é y''(t)=0 (derivada de constante é zero).
Lembrando que 25^{1/2}=5, então 25^{3/2}=5^{3}=125.
Portanto a curvatura em t=1 é
\kappa(1)=\frac{12}{125}.
O raio de curvatura é o inverso:
R(1)=\frac{1}{\kappa(1)}=\frac{125}{12}.
Passo 6
Dar o valor numérico e interpretação, com arredondamento.
O valor exato é \displaystyle R(1)=\frac{125}{12}\\ \text{m}. Em decimal:
\frac{125}{12}\approx 10{,}4167\\ \text{m}.
Interpretação rápida: em t=1 a trajectória tem curvatura \kappa(1)=12/125, o que corresponde a um raio de curvatura de aproximadamente 10{,}42 m — ou seja, localmente a curva “aproxima-se” de um círculo de raio \approx 10{,}42 m.