Q6: A equação do círculo com centro em
e raio
é dada por:
. A brindo a expressão obtemos:
onde
.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre
e
, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
e
. Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 25.4
(B) 26.4
(C) 27.4
(D) 28.4
(E) 29.4
(F) 30.4
(G) 31.4
(H) 32.4
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 25.4
(B) 26.4
(C) 27.4
(D) 28.4
(E) 29.4
(F) 30.4
(G) 31.4
(H) 32.4
Passo 1
Resumindo o enunciado: queremos a circunferência que passa por
,
e
. Empregamos a forma geral
com
de modo que, ao achar
, obtemos
e
.
Passo 2
Substituindo cada ponto em
, temos:
Passo 3
Eliminando
pela subtração, obtemos um sistema em
:
Passo 4
Da segunda equação
. Substituindo em
:
Então
Passo 5
O centro é
e
logo
Passo 6
Entre as opções dadas, o valor mais próximo de
é a letra (B).
Resposta
(B)