Q6: A equação do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. A brindo a expressão obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer (*) para valores fixos de a, b, c que podem ser determinados resolvendo um sistema linear. Usando a relação acima entre a, b, c e x_{0}, y_{0}, r, podemos calcular o raio do círculo que passa por estes três pontos.
Vamos aplicar esta teoria. Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (3,1),(-1,-2) e (-5,-4). Para isto, modele o problema e use algum recurso computacional para resolver o sistema linear associado.
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
Observação: Para uma curva qualquer (pense em uma estrada) podemos calcular o raio do círculo que passa por três pontos quaisquer da mesma. Passando ao limite, com os três pontos convergindo para o mesmo ponto, temos o chamado raio de curvatura em um ponto da curva (com cálculo podemos calcular isto para curvas parametrizadas). Em projetos de estradas, por exemplo, existem normas para o raio de curvatura mínimo que uma estrada pode ter por questão de segurança. Além disso o raio de curvatura é utilizado para determinar velocidade máxima em curvas. Isto pode ser aproximado tomando três pontos: um na entrada da curva, outro no meio, outro no final.
(A) 25.4
(B) 26.4
(C) 27.4
(D) 28.4
(E) 29.4
(F) 30.4
(G) 31.4
(H) 32.4

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos a circunferência que passa por (3,1), (-1,-2) e (-5,-4). Empregamos a forma geral
x^{2}+a\,x+y^{2}+b\,y=c
com
a=-2x_{0},\quad b=-2y_{0},\quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2},
de modo que, ao achar a,b,c, obtemos x_{0},y_{0} e r.

Passo 2

Substituindo cada ponto em \,x^{2}+a\,x+y^{2}+b\,y=c, temos:
10 + 3a + b = c,\qquad 5 - a -2b = c,\qquad 41 -5a -4b = c.

Passo 3

Eliminando c pela subtração, obtemos um sistema em a,b:
(10 +3a +b)-(5 -a -2b)=0\;\Rightarrow\;4a+3b=-5,
(41 -5a -4b)-(5 -a -2b)=0\;\Rightarrow\;2a+b=18.

Passo 4

Da segunda equação b=18-2a. Substituindo em 4a+3b=-5:
4a+3(18-2a)=-5\implies -2a=-59\implies a=\tfrac{59}{2},\quad b=-41.
Então
c=5 - a -2b = 5 - \tfrac{59}{2} -2(-41) = 57{,}5.

Passo 5

O centro é
x_{0}=-\tfrac{a}{2}=-\tfrac{59}{4}=-14{,}75,\quad y_{0}=-\tfrac{b}{2}=\tfrac{41}{2}=20{,}5,
e
r^{2}=x_{0}^{2}+y_{0}^{2}+c =(-14{,}75)^{2}+(20{,}5)^{2}+57{,}5 =695{,}3125,
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r=\sqrt{695{,}3125}\approx26{,}4.

Passo 6

Entre as opções dadas, o valor mais próximo de r\approx26{,}4 é a letra (B).

Resposta

(B) 26{,}4

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