Q8: Considere
e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se
é LD, ent ão
tem infinit as solução.
II - Se
é LD, então
tem infinitas soluções.
III - Se
é LI, então
não tem solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II é verdadeira.
I - Se
II - Se
III - Se
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II é verdadeira.
Passo 1
O enunciado define
e dois sistemas lineares: , que é o sistema homogêneo
,
e , que é
.
Vamos usar teoria de dependência linear e solução de sistemas para julgar as afirmações I, II e III.
e dois sistemas lineares:
e
Vamos usar teoria de dependência linear e solução de sistemas para julgar as afirmações I, II e III.
Passo 2
Analisando
: todo sistema homogêneo tem ao menos a solução trivial
. Se
for linearmente dependente, existe combinação não trivial
com algum . Isso significa que o espaço solução de
tem dimensão
, ou seja, infinitas soluções.
com algum
Passo 3
Logo, a afirmativa II (“Se
é LD, então
tem infinitas soluções”) é verdadeira.
Passo 4
Agora
. A afirmação I diz que se
é LD, então
tem infinitas soluções. Mas considere o caso em que
e
são independentes e
. Nesse caso
é LD (porque
está no span de
), porém
tem solução única
. Logo I é falsa.
Passo 5
Por fim, se
é linearmente independente, então
. Portanto o sistema
não admite solução alguma. Assim a afirmativa III é verdadeira.
não admite solução alguma. Assim a afirmativa III é verdadeira.
Passo 6
Resumindo:
– I é falsa.
– II é verdadeira.
– III é verdadeira.
– I é falsa.
– II é verdadeira.
– III é verdadeira.
Logo apenas II e III são verdadeiras.
Resposta
(A) Apenas II e III são verdadeiras.