Q8: Considere \beta=\left\{\vec{v}_{1}, \vec{v}_{2}, \vec{v}_{3}\right\} \subset \mathbb{R}^{7} e os sistemas lineares representados pelas suas matrizes aumentadas:
S_{1}:\left[\begin{array}{lll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} & \vec{v}_{3} \mid \overrightarrow{0} \end{array}\right] \quad \text { e } \quad S_{2}:\left[\begin{array}{ll} \vec{v}_{1} & \vec{v}_{2} \mid \vec{v}_{3} \end{array}\right] .
Considere as afirmativas abaixo:
I - Se \beta é LD, ent ão S_{2} tem infinit as solução.
II - Se \beta é LD, então S_{1} tem infinitas soluções.
III - Se \beta é LI, então S_{2} não tem solução.
(A) Apenas II e III são verdadeiras.
(B) Apenas I e II são verdadeiras.
(C) Apenas III é verdadeira.
(D) Apenas I e III são verdadeiras.
(E) Apenas I é verdadeira.
(F) Todas são verdadeiras.
(G) Todas são falsas.
(H) Apenas II é verdadeira.

Passo 1

O enunciado define \beta=\{\vec v_1,\vec v_2,\vec v_3\}\subset\mathbb R^7
e dois sistemas lineares: \displaystyle S_1:\\ [\,\vec v_1\\ \vec v_2\\ \vec v_3\mid\vec 0\,], que é o sistema homogêneo \vec v_1x_1+\vec v_2x_2+\vec v_3x_3=\vec0,
e \displaystyle S_2:\\ [\,\vec v_1\\ \vec v_2\mid\vec v_3\,], que é \vec v_1x_1+\vec v_2x_2=\vec v_3.
Vamos usar teoria de dependência linear e solução de sistemas para julgar as afirmações I, II e III.

Passo 2

Analisando S_1: todo sistema homogêneo tem ao menos a solução trivial (x_1,x_2,x_3)=(0,0,0). Se \beta for linearmente dependente, existe combinação não trivial \alpha_1\vec v_1+\alpha_2\vec v_2+\alpha_3\vec v_3=\vec0
com algum \alpha_i\neq0. Isso significa que o espaço solução de S_1 tem dimensão \ge1, ou seja, infinitas soluções.

Passo 3

Logo, a afirmativa II (“Se \beta é LD, então S_1 tem infinitas soluções”) é verdadeira.

Passo 4

Agora S_2:\vec v_1x_1+\vec v_2x_2=\vec v_3. A afirmação I diz que se \beta é LD, então S_2 tem infinitas soluções. Mas considere o caso em que \vec v_1 e \vec v_2 são independentes e \vec v_3=\vec v_1+\vec v_2. Nesse caso \beta é LD (porque \vec v_3 está no span de \vec v_1,\vec v_2), porém S_2 tem solução única (x_1,x_2)=(1,1). Logo I é falsa.

Passo 5

Por fim, se \beta é linearmente independente, então \vec v_3\notin\mathrm{Span}\{\vec v_1,\vec v_2\}. Portanto o sistema \vec v_1x_1+\vec v_2x_2=\vec v_3
não admite solução alguma. Assim a afirmativa III é verdadeira.

Passo 6

Resumindo:
– I é falsa.
– II é verdadeira.
– III é verdadeira.
Logo apenas II e III são verdadeiras.

Resposta

(A) Apenas II e III são verdadeiras.

Exercícios relacionados