Q7: Considere os seguintes planos em \mathbb{R}^{4} :
\left[\begin{array}{r}14 \\\\ 19 \\\\ -3 \\\\ 2\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}-1 \\\\ -3 \\\\ 0 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}-3 \\\\ -3 \\\\ 2 \\\\ 3\end{array}\right]\right\} \quad \mathrm{e}
\left[\begin{array}{r}13 \\\\ 11 \\\\ 0 \\\\ -5\end{array}\right]+\operatorname{span}\left\{\left[\begin{array}{r}2 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ -3\end{array}\right],\left[\begin{array}{r}0 \\\\ -1 \\\\ -1 \\\\ 2\end{array}\right]\right\}.
Calcule o ponto ( x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} ) em que estes dois planos se interceptam. O valor da entrada x_{1} é:
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 6
(F) 7
(G) 8
(H) 9

Passo 1

O enunciado dá dois planos afins em \mathbb{R}^4, cada um em forma paramétrica:
o primeiro é
x = \begin{pmatrix}14\\\ 19\\\ -3\\\ 2\end{pmatrix} + s\begin{pmatrix}-1\\\ -3\\\ 0\\\ -3\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}-3\\\ -3\\\ 2\\\ 3\end{pmatrix},
e o segundo é
x = \begin{pmatrix}13\\\ 11\\\ 0\\\ -5\end{pmatrix} + u\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ 1\\\ -3\end{pmatrix} + r\begin{pmatrix}0\\\ -1\\\ -1\\\ 2\end{pmatrix}.
Queremos o ponto único de interseção, ou seja, valores de s,t,u,r para que as duas expressões de x coincidam.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, igualamos
\begin{cases} 14 - s - 3t = 13 + 2u,\\\\ 19 - 3s - 3t = 11 + u - r,\\\\ -3 + 2t = u - r,\\\\ 2 - 3s + 3t = -5 - 3u + 2r. \end{cases}
Isso gera um sistema linear de quatro equações nas quatro incógnitas s,t,u,r.

Passo 3

Reescrevendo de forma organizada:
\begin{aligned} &(1)\quad s + 3t + 2u \;=\;1,\\\ &(2)\quad 3s + 3t + u - r \;=\;8,\\\ &(3)\quad -2t + u - r \;=\;-3,\\\ &(4)\quad 3s - 3t - 3u + 2r \;=\;7. \end{aligned}
Da equação (3) isolamos r:
r = 3 - 2t + u.

Passo 4

Substituímos r\) em \((2)\) e em \((4)\): \[\begin{aligned} &(2')\;3s + 5t = 11,\\\ &(4')\;3s - 7t - u = 1. \end{aligned}
Agora temos três equações em s,t,u:
\begin{cases} s + 3t + 2u = 1,\\\\ 3s + 5t = 11,\\\\ 3s - 7t - u = 1. \end{cases}
Da segunda, s = \tfrac{11 - 5t}{3}\]. Substituindo nas outras duas e resolvendo, achamos \[t = 1,\quad u = -2,\quad s = 2.\] Em seguida \(r = 3 - 2\cdot 1 +(-2) = -1.

Passo 5

Finalmente, o ponto de interseção vem de
x_1 = 14 - s - 3t = 14 - 2 - 3 = 9.
As demais coordenadas são x_2=10, x_3=-1, x_4=-1, mas o enunciado só pede x_1.

Resposta

H (9)

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