Q6: A equaçāo do círculo com centro em \left(x_{0}, y_{0}\right) e raio r é dada por: \left(x-x_{0}\right)^{2}+\left(y-y_{0}\right)^{2}=r^{2}. Abrindo a expressão, obtemos:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c
onde
a=-2 x_{0}, \quad b=-2 y_{0}, \quad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2} .
Nesta questão, vamos calcular o raio do círculo que passa por trés pontos dados.
Se três pontos pertencem a um mesmo círculo, eles devem satisfazer a equação (*) para valores fixos de a, b e c, que podem então ser determinados pela resolução de um sistema linear. Finalmente, a partir dos valores de a, b e c, podemos determinar o raio do círculo através das relações (**).
Determine o centro e o raio do círculo que passa pelos pontos (-5,5),(5,3) e (1,3).
Dentre as opções abaixo, o valor mais próximo do raio é:
(A) 15.1
(B) 16.1
(C) 17.1
(D) 18.1
(E) 19.1
(F) 20.1
(G) 21.1
(H) 22.1

Passo 1

O enunciado pede: determinar o centro e o raio do círculo que passa pelos três pontos (-5,5), (5,3) e (1,3). Em seguida, escolher a opção cujo valor é o mais próximo do raio.
As informações fornecidas que vamos usar são os três pontos:
(-5,5),\qquad (5,3),\qquad (1,3).

Passo 2

Escrevemos a equação geral do círculo já “aberta”:
x^{2}+a x+y^{2}+b y=c.
Aqui a, b e c são constantes que dependem do centro e do raio. Importante: se o centro é \left(x_{0},y_{0}\right) e o raio é r, então valem as relações
a=-2x_{0},\qquad b=-2y_{0},\qquad c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}.
Vou primeiro encontrar a,b,c impondo que os três pontos satisfazem a equação acima.

Passo 3

Substituo cada ponto na equação x^{2}+a x+y^{2}+b y=c:
Para (-5,5):
(-5)^{2}+a(-5)+5^{2}+b(5)=c
25-5a+25+5b=c
c=50-5a+5b. \tag{1}
Para (5,3):
5^{2}+a(5)+3^{2}+b(3)=c
25+5a+9+3b=c
c=34+5a+3b. \tag{2}
Para (1,3):
1^{2}+a(1)+3^{2}+b(3)=c
1+a+9+3b=c
c=10+a+3b. \tag{3}

Passo 4

Agora igualamos as expressões para c para eliminar c e obter equações em a,b. Igualando (2) e (3):
34+5a+3b=10+a+3b.
Os termos 3b cancelam, sobra
34+5a=10+a.
Isolando a:
5a-a=10-34 \quad\Rightarrow\quad 4a=-24 \quad\Rightarrow\quad a=-6.

Passo 5

Com a=-6, igualamos (1) e (3) para encontrar b. Igualando (1) e (3):
50-5a+5b=10+a+3b.
Substituindo a=-6:
50-5(-6)+5b=10+(-6)+3b.
Calculo passo a passo:
50+30+5b=10-6+3b
80+5b=4+3b
5b-3b=4-80
2b=-76\quad\Rightarrow\quad b=-38.

Passo 6

Agora obtenho c substituindo a e b em (3) (ou em qualquer das três expressões):
c=10+a+3b=10+(-6)+3(-38).
Calculo:
c=4-114=-110.

Passo 7

Determinamos o centro usando a=-2x_{0} e b=-2y_{0}:
-6=-2x_{0}\quad\Rightarrow\quad x_{0}=3,
-38=-2y_{0}\quad\Rightarrow\quad y_{0}=19.
Portanto o centro é \left(3,19\right).

Passo 8

Determinamos o raio a partir de c=r^{2}-x_{0}^{2}-y_{0}^{2}, ou seja
r^{2}=c+x_{0}^{2}+y_{0}^{2}.
Substituindo os valores:
r^{2}=-110+3^{2}+19^{2}=-110+9+361=-110+370=260.
Logo
r=\sqrt{260}.
Fatorando \sqrt{260}=\sqrt{4\cdot65}=2\sqrt{65}. Para aproximar numericamente, use uma aproximação de \sqrt{65}. Sabendo que \sqrt{64}=8 e usando um ajuste linear rápido:
\sqrt{65}\approx 8{,}0623\quad\Rightarrow\quad r\approx 2\cdot 8{,}0623=16{,}1246.
Arredondando para uma casa decimal: r\approx 16{,}1.

Passo 9

Comparando com as opções fornecidas, a mais próxima é a opção (B) 16{,}1.

Resposta

(B) 16{,}1

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