e pede que se decida se ela possui inversa. Se for inversível, calcular a inversa pelo método de Gauss-Jordan. Aqui há apenas uma matriz para analisar: C.]
Passo 2
O critério mais direto para decidir se uma matriz quadrada 3\times3 é inversível é calcular o determinante: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Vou explicar e aplicar isso.
Breve aula sobre determinante (em termos simples):
O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que mede, geometricamente, o “fator de escala” do volume quando a matriz atua como transformação linear.
Para matrizes 3\times3 há a regra de Sarrus (fácil de aplicar) ou a expansão por cofatores. A regra de Sarrus consiste em somar os produtos das diagonais descendo e subtrair os produtos das diagonais subindo.
Aplicando a regra de Sarrus a C. Denotando os elementos por a_{ij}, temos
Interpretação do resultado: como \det\text{(C)}=0, a matriz C é singular (não inversível). Vou explicar por que isso faz sentido de maneira mais concreta (ligando com dependência linear).
Explicação sobre dependência linear das linhas:
Se as linhas (ou colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o determinante é zero e a matriz não tem inversa.
Linearmente dependente significa que uma das linhas pode ser escrita como combinação linear das outras.
Vou tentar escrever a terceira linha de C, que é (0,3,0), como combinação linear das duas primeiras linhas (1,-1,2) e (2,1,4). Procuro escalares \alpha,\beta tais que
\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,4)=(0,3,0).
Isso dá o sistema linear componente a componente:
\alpha+2\beta=0,
-\alpha+\beta=3,
2\alpha+4\beta=0.
Da primeira equação \alpha=-2\beta. Substituindo na segunda:
Portanto a terceira linha é combinação linear das primeiras duas: há dependência linear entre as linhas, o que explica \det\text{(C)}=0 e confirma que C não é inversível.
Passo 4
Vou também mostrar o que acontece se tentarmos aplicar o método de Gauss-Jordan (o procedimento que normalmente se usa para calcular uma inversa) — assim fica claro, de forma algébrica, por que não dá para obter a inversa.
Ideia do método de Gauss-Jordan (resumo):
Para encontrar C^{-1} faz-se a operação por linhas na matriz aumentada [\,C\;|\;I\,] até que o bloco esquerdo vire a matriz identidade; o bloco direito então será C^{-1}.
Se em algum momento o bloco esquerdo ficar com uma linha toda zeros (ou não for possível obter pivôs em todas as colunas), isso significa que a matriz não tem posto completo e, portanto, não existe inversa.
No bloco esquerdo agora há uma linha inteira de zeros (0,0,0). Isso impede transformar o bloco esquerdo na matriz identidade (faltou um pivô), e portanto não é possível obter I_3 à esquerda — logo não existe C^{-1}. Note também que a presença da linha de zeros coincide com a dependência linear já demonstrada.]
Passo 5
Conclusão e incentivo rápido: a detecção por determinante foi rápida e convincente (\det\text{(C)}=0), e a tentativa de Gauss-Jordan mostrou concretamente a presença de uma linha nula à esquerda, o que impede a existência da inversa. Não ficou nenhuma operação sem justificar — quando sentir pressão na prova, calcular o determinante primeiro é uma boa estratégia para decidir se vale a pena tentar a inversa.