Exercise 5. Decida quais matrizes abaixo possuem inversa. Para as que forem inversíveis, calcule a inversa pelo método de Gauss-Jordan.
C=\left[\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\\ 2 & 1 & 4 \\\ 0 & 3 & 0\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
C=\begin{pmatrix}1 & -1 & 2\\[4pt]2 & 1 & 4\\[4pt]0 & 3 & 0\end{pmatrix}
e pede que se decida se ela possui inversa. Se for inversível, calcular a inversa pelo método de Gauss-Jordan. Aqui há apenas uma matriz para analisar: C.]

Passo 2

O critério mais direto para decidir se uma matriz quadrada 3\times3 é inversível é calcular o determinante: uma matriz quadrada é inversível se, e somente se, o seu determinante for diferente de zero. Vou explicar e aplicar isso.
Breve aula sobre determinante (em termos simples):
  • O determinante é um número associado a uma matriz quadrada que mede, geometricamente, o “fator de escala” do volume quando a matriz atua como transformação linear.
  • Para matrizes 3\times3 há a regra de Sarrus (fácil de aplicar) ou a expansão por cofatores. A regra de Sarrus consiste em somar os produtos das diagonais descendo e subtrair os produtos das diagonais subindo.
Aplicando a regra de Sarrus a C. Denotando os elementos por a_{ij}, temos
a_{11}=1,\quad a_{12}=-1,\quad a_{13}=2,
a_{21}=2,\quad a_{22}=1,\quad a_{23}=4,
a_{31}=0,\quad a_{32}=3,\quad a_{33}=0.
Pela regra de Sarrus:
\det\text{(C)}=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32} -(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{11}a_{23}a_{32}+a_{12}a_{21}a_{33}).
Agora calculo cada termo numericamente:
a_{11}a_{22}a_{33}=1\cdot 1\cdot 0=0,
a_{12}a_{23}a_{31}=-1\cdot 4\cdot 0=0,
a_{13}a_{21}a_{32}=2\cdot 2\cdot 3=12.
Soma das diagonais descendentes: 0+0+12=12.
Agora as diagonais ascendentes:
a_{13}a_{22}a_{31}=2\cdot 1\cdot 0=0,
a_{11}a_{23}a_{32}=1\cdot 4\cdot 3=12,
a_{12}a_{21}a_{33}=-1\cdot 2\cdot 0=0.
Soma das diagonais ascendentes: 0+12+0=12.
Portanto
\det\text{(C)}=12-12=0.

Passo 3

Interpretação do resultado: como \det\text{(C)}=0, a matriz C é singular (não inversível). Vou explicar por que isso faz sentido de maneira mais concreta (ligando com dependência linear).
Explicação sobre dependência linear das linhas:
  • Se as linhas (ou colunas) de uma matriz são linearmente dependentes, então o determinante é zero e a matriz não tem inversa.
  • Linearmente dependente significa que uma das linhas pode ser escrita como combinação linear das outras.
Vou tentar escrever a terceira linha de C, que é (0,3,0), como combinação linear das duas primeiras linhas (1,-1,2) e (2,1,4). Procuro escalares \alpha,\beta tais que
\alpha(1,-1,2)+\beta(2,1,4)=(0,3,0).
Isso dá o sistema linear componente a componente:
\alpha+2\beta=0,
-\alpha+\beta=3,
2\alpha+4\beta=0.
Da primeira equação \alpha=-2\beta. Substituindo na segunda:
-(-2\beta)+\beta=3\quad\Rightarrow\quad 2\beta+\beta=3\quad\Rightarrow\quad 3\beta=3\quad\Rightarrow\quad \beta=1.
Então \alpha=-2. Verifico a terceira equação:
2\alpha+4\beta=2(-2)+4(1)=-4+4=0,
que coincide com o lado direito. Logo
(0,3,0) = -2(1,-1,2)+1(2,1,4).
Portanto a terceira linha é combinação linear das primeiras duas: há dependência linear entre as linhas, o que explica \det\text{(C)}=0 e confirma que C não é inversível.

Passo 4

Vou também mostrar o que acontece se tentarmos aplicar o método de Gauss-Jordan (o procedimento que normalmente se usa para calcular uma inversa) — assim fica claro, de forma algébrica, por que não dá para obter a inversa.
Ideia do método de Gauss-Jordan (resumo):
  • Para encontrar C^{-1} faz-se a operação por linhas na matriz aumentada [\,C\;|\;I\,] até que o bloco esquerdo vire a matriz identidade; o bloco direito então será C^{-1}.
  • Se em algum momento o bloco esquerdo ficar com uma linha toda zeros (ou não for possível obter pivôs em todas as colunas), isso significa que a matriz não tem posto completo e, portanto, não existe inversa.
Começo com a matriz aumentada [\,C\;|\;I_3\,]:
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 1 & 4 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1 para eliminar o elemento abaixo do pivô da primeira coluna:
R_2: \\ (2,1,4\;|\;0,1,0) - 2(1,-1,2\;|\;1,0,0) = (0,3,0\;|\;-2,1,0).
Aumentada fica
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].
Agora note que as linhas 2 e 3 têm o mesmo bloco esquerdo (0,3,0). Se subtrairmos R_2 de R_3 (para tentar criar um pivô novo), obtemos
R_3 \leftarrow R_3 - R_2 \implies (0,0,0\;|\;2,-1,1).
Aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{ccc|ccc} 1 & -1 & 2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 3 & 0 & -2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 & -1 & 1 \end{array}\right].
No bloco esquerdo agora há uma linha inteira de zeros (0,0,0). Isso impede transformar o bloco esquerdo na matriz identidade (faltou um pivô), e portanto não é possível obter I_3 à esquerda — logo não existe C^{-1}. Note também que a presença da linha de zeros coincide com a dependência linear já demonstrada.]

Passo 5

Conclusão e incentivo rápido: a detecção por determinante foi rápida e convincente ( \det\text{(C)}=0), e a tentativa de Gauss-Jordan mostrou concretamente a presença de uma linha nula à esquerda, o que impede a existência da inversa. Não ficou nenhuma operação sem justificar — quando sentir pressão na prova, calcular o determinante primeiro é uma boa estratégia para decidir se vale a pena tentar a inversa.

Resposta

A matriz C não é inversível.

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