Exercise 5. Decida quais matrizes abaixo possuem inversa. Para as que forem inversíveis, calcule a inversa pelo método de Gauss-Jordan.
D=\left[\begin{array}{cccc}1 & -1 & 0 & 2 \\\ 2 & -1 & 1 & 3 \\\ 0 & 1 & 2 & 0 \\\ 1 & 0 & 1 & 2\end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá a matriz quadrada D de ordem 4 e pede duas coisas: decidir se D possui inversa e, se for inversível, calcular a inversa usando o método de Gauss-Jordan. A matriz dada é
D=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 & 2\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 2 \end{pmatrix}.]

Passo 2

Breve explicação do método que vamos usar (Gauss-Jordan), passo a passo e de forma amigável:
  • A ideia do método de Gauss-Jordan para encontrar D^{-1} é montar a matriz aumentada \bigl[D \mid I\bigr], onde I é a identidade 4\times4.
  • Aplicam-se operações elementares sobre as linhas (trocar linhas, multiplicar uma linha por escalar não nulo, somar múltiplo de uma linha a outra) até transformar a parte esquerda em I. Se isso for possível, a parte direita final será D^{-1}.
  • Se em algum passo não for possível obter um pivô (por exemplo, pivô zero e nenhuma linha abaixo com elemento não nulo para trocar), a matriz não é inversível.
    Agora montamos a matriz aumentada inicial \bigl[D \mid I\bigr]:
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 1 & 3 & 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 3

Eliminar os elementos abaixo do pivô da primeira coluna (usar pivô em R_1, já que R_1 tem 1 na coluna 1).
  • Faça R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
  • Faça R_4 \leftarrow R_4 - R_1.
    Calculemos cada nova linha:
Para R_2-2R_1:
\begin{aligned} & (2,-1,1,3) - 2(1,-1,0,2) = (0,\,1,\,1,\,-1),\\[2pt] & (0,1,0,0) - 2(1,0,0,0) = (-2,\,1,\,0,\,0). \end{aligned}
Para R_4-R_1:
\begin{aligned} & (1,0,1,2) - (1,-1,0,2) = (0,\,1,\,1,\,0),\\[2pt] & (0,0,0,1) - (1,0,0,0) = (-1,\,0,\,0,\,1). \end{aligned}
A matriz aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & -1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & 0 & -1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 4

Agora usamos o pivô da segunda coluna em R_2 (já é 1) para zerar as outras entradas na coluna 2.
  • Faça R_1 \leftarrow R_1 + R_2 (porque R_1 tem -1 na coluna 2).
  • Faça R_3 \leftarrow R_3 - R_2.
  • Faça R_4 \leftarrow R_4 - R_2.
Calculemos cada atualização:
R_1 + R_2:
\begin{aligned} & (1,-1,0,2) + (0,1,1,-1) = (1,0,1,1),\\[2pt] & (1,0,0,0) + (-2,1,0,0) = (-1,1,0,0). \end{aligned}
R_3 - R_2:
\begin{aligned} & (0,1,2,0) - (0,1,1,-1) = (0,0,1,1),\\[2pt] & (0,0,1,0) - (-2,1,0,0) = (2,-1,1,0). \end{aligned}
R_4 - R_2:
\begin{aligned} & (0,1,1,0) - (0,1,1,-1) = (0,0,0,1),\\[2pt] & (-1,0,0,1) - (-2,1,0,0) = (1,-1,0,1). \end{aligned}
Aumentada fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 1 & -1 & -2 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 5

Agora o pivô da terceira coluna é o 1 em R_3. Usamos esse pivô para zerar as entradas nas outras linhas na coluna 3.
  • Faça R_1 \leftarrow R_1 - R_3.
  • Faça R_2 \leftarrow R_2 - R_3.
Calculemos:
R_1 - R_3:
\begin{aligned} & (1,0,1,1) - (0,0,1,1) = (1,0,0,0),\\[2pt] & (-1,1,0,0) - (2,-1,1,0) = (-3,2,-1,0). \end{aligned}
R_2 - R_3:
\begin{aligned} & (0,1,1,-1) - (0,0,1,1) = (0,1,0,-2),\\[2pt] & (-2,1,0,0) - (2,-1,1,0) = (-4,2,-1,0). \end{aligned}
Aumentada passa a ser
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & -2 & -4 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 1 & 2 & -1 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].]

Passo 6

Finalmente, usamos o pivô da quarta coluna em R_4 1) para zerar as outras entradas na coluna 4.
  • Faça R_2 \leftarrow R_2 + 2R_4 (porque R_2 tem -2 na coluna 4).
  • Faça R_3 \leftarrow R_3 - R_4 (porque R_3 tem 1 na coluna 4).
    R_1 já tem 0 na coluna 4, então permanece.
Calculemos:
R_2 + 2R_4:
\begin{aligned} & (0,1,0,-2) + 2(0,0,0,1) = (0,1,0,0),\\[2pt] & (-4,2,-1,0) + 2(1,-1,0,1) = (-2,0,-1,2). \end{aligned}
R_3 - R_4:
\begin{aligned} & (0,0,1,1) - (0,0,0,1) = (0,0,1,0),\\[2pt] & (2,-1,1,0) - (1,-1,0,1) = (1,0,1,-1). \end{aligned}
Aumentada final fica
\left[\begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & -3 & 2 & -1 & 0\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0 & -2 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right].
A parte esquerda é a identidade I_4, então D é inversível e a parte direita é exatamente D^{-1}.]

Passo 7

Interpretação final e pequena verificação mental: a transformação levou a parte esquerda à identidade sem encontrar pivô zero impossível, portanto D tem inversa. Como checagem rápida, multiplicar D por essa matriz à direita devolve I (verificação opcional, mas a sequência de operações garante isso).

Resposta

D^{-1}=\begin{pmatrix} -3 & 2 & -1 & 0\\[4pt] -2 & 0 & -1 & 2\\[4pt] 1 & 0 & 1 & -1\\[4pt] 1 & -1 & 0 & 1 \end{pmatrix}]

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