Muitas vezes professores de cursos de Cálculo ou Geometria Analítica recorrem ao traço com uso de planos, para esboçar uma superfície S em um sistema com três eixos coordenados. Dessa forma, é possível afirmar que a alternativa que melhor representa a equação de um hiperboloide de duas folhas é:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado pede: identificar qual das alternativas melhor representa a equação de um hiperboloide de duas folhas. As alternativas fornecidas são:
a)
b)
c)
d)
e)
Informações relevantes: cada alternativa é uma superfície quádrupla (superfície quadrática) escrita com frações como coeficientes. O que precisamos verificar é a assinatura dos sinais (positivos/negativos) e o termo do lado direito (0 ou 1), porque isso determina se a superfície é elipsóide, hiperboloide de uma folha, hiperboloide de duas folhas, cone, paraboloide etc.
Passo 2
Conceito essencial (explicado devagar e com exemplos): existem formas padrão para superfícies quadráticas que ajudam a identificar o tipo só olhando os sinais e o lado direito.
-
Elipsóide (surface fechada, uma “bola achatada”):todas as três parcelas têm sinal positivo e o RHS é
. -
Hiperboloide de uma folha (superfície conectada, “tipo uma cintura”):tem duas parcelas positivas e uma negativa (RHS
). -
Hiperboloide de duas folhas (duas peças separadas, simétricas em torno do plano origem):(ou equivalente com o sinal positivo para
e negativos para os outros, desde que haja duas negativas e uma positiva no lado esquerdo com RHS ). A variável com coeficiente positivo corresponde ao eixo de simetria das duas folhas (por exemplo, aqui). -
Cone duplo (superfície degenerada): caso o RHS seja
com sinais mistas, por exemplo descreve um cone duplo (duas nappes) passando pela origem. -
Paraboloide (quando uma variável aparece linearmente após rearranjo), por exemploé um paraboloide elíptico.
Regra prática: se o RHS é
, conte quantos sinais positivos e negativos há no lado esquerdo. Dois negativos e um positivo
hiperboloide de duas folhas (a folha fica no sentido da variável com sinal positivo).
Passo 3
Aplicando a regra às alternativas, começamos vendo sinais e RHS:
a)
. Aqui RHS
. Isso indica uma superfície degenerada: é um cone duplo (não é hiperboloide de duas folhas). Então (a) está descartada.
Passo 4
b)
. Todos os três termos têm sinais positivos e RHS
. Isso é a forma padrão de um elipsóide. Um elipsóide é uma superfície fechada (uma “ovóide”), não é um hiperboloide de duas folhas. Portanto (b) está descartada.
Passo 5
c)
. Aqui no lado esquerdo há duas parcelas negativas (
,
) e uma positiva (
), com RHS
. Isso coincide exatamente com a forma padrão do hiperboloide de duas folhas.
Vamos reforçar com uma verificação geométrica simples (para você visualizar na prova): reescrevendo
Se fixarmos
obtemos
, logo
. Portanto as duas folhas estão centradas em
e
(não há ponto com
). Para um valor de
com
, o corte por um plano
constante é uma elipse (pois a expressão restante em
é negativa igual a um número negativo que dá elipse quando rearranjada). Para
não existem pontos reais. Isso mostra que a superfície consiste em duas componentes desconexas (duas folhas), uma acima de
e outra abaixo de
: exatamente o comportamento de um hiperboloide de duas folhas.
Passo 6
d)
. Dois termos positivos e um negativo com RHS
— isso corresponde ao hiperboloide de uma folha (superfície conectada). Portanto (d) não é a resposta.
Passo 7
e)
. Rearranjando fica
, ou explicitamente
. Isso é um paraboloide elíptico (aberto para
), não um hiperboloide de duas folhas. Então (e) está descartada.
Passo 8
Resumo e conclusão: apenas a alternativa (c) tem a combinação de sinais e RHS que caracteriza um hiperboloide de duas folhas; as outras alternativas representam cone, elipsóide, hiperboloide de uma folha ou paraboloide, respectivamente. Vai dar certo na prova — memorizando a forma padrão e contando sinais você resolve rápido.
Resposta
(c)