Muitas vezes professores de cursos de Cálculo ou Geometria Analítica recorrem ao traço com uso de planos, para esboçar uma superfície S em um sistema com três eixos coordenados. Dessa forma, é possível afirmar que a alternativa que melhor representa a equação de um hiperboloide de duas folhas é:
a) \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}-\frac{z^{2}}{4}=0
b) \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=1
c) -\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}+\frac{z^{2}}{4}=1
d) \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}-\frac{z^{2}}{4}=1
e) \frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{3}=z

Passo 1

O enunciado pede: identificar qual das alternativas melhor representa a equação de um hiperboloide de duas folhas. As alternativas fornecidas são:
a) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}-\dfrac{z^{2}}{4}=0
b) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{z^{2}}{4}=1
c) -\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{z^{2}}{4}=1
d) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}-\dfrac{z^{2}}{4}=1
e) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}=z
Informações relevantes: cada alternativa é uma superfície quádrupla (superfície quadrática) escrita com frações como coeficientes. O que precisamos verificar é a assinatura dos sinais (positivos/negativos) e o termo do lado direito (0 ou 1), porque isso determina se a superfície é elipsóide, hiperboloide de uma folha, hiperboloide de duas folhas, cone, paraboloide etc.

Passo 2

Conceito essencial (explicado devagar e com exemplos): existem formas padrão para superfícies quadráticas que ajudam a identificar o tipo só olhando os sinais e o lado direito.
  • Elipsóide (surface fechada, uma “bola achatada”):
    \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
    todas as três parcelas têm sinal positivo e o RHS é 1.
  • Hiperboloide de uma folha (superfície conectada, “tipo uma cintura”):
    \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=1,
    tem duas parcelas positivas e uma negativa (RHS =1).
  • Hiperboloide de duas folhas (duas peças separadas, simétricas em torno do plano origem):
    -\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}=1
    (ou equivalente com o sinal positivo para x^2 e negativos para os outros, desde que haja duas negativas e uma positiva no lado esquerdo com RHS =1). A variável com coeficiente positivo corresponde ao eixo de simetria das duas folhas (por exemplo, z aqui).
  • Cone duplo (superfície degenerada): caso o RHS seja 0 com sinais mistas, por exemplo
    \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0
    descreve um cone duplo (duas nappes) passando pela origem.
  • Paraboloide (quando uma variável aparece linearmente após rearranjo), por exemplo
    z=\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}
    é um paraboloide elíptico.
Regra prática: se o RHS é 1, conte quantos sinais positivos e negativos há no lado esquerdo. Dois negativos e um positivo \Rightarrow hiperboloide de duas folhas (a folha fica no sentido da variável com sinal positivo).

Passo 3

Aplicando a regra às alternativas, começamos vendo sinais e RHS:
a) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}-\dfrac{z^{2}}{4}=0. Aqui RHS =0. Isso indica uma superfície degenerada: é um cone duplo (não é hiperboloide de duas folhas). Então (a) está descartada.

Passo 4

b) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{z^{2}}{4}=1. Todos os três termos têm sinais positivos e RHS =1. Isso é a forma padrão de um elipsóide. Um elipsóide é uma superfície fechada (uma “ovóide”), não é um hiperboloide de duas folhas. Portanto (b) está descartada.

Passo 5

c) -\dfrac{x^{2}}{2}-\dfrac{y^{2}}{3}+\dfrac{z^{2}}{4}=1. Aqui no lado esquerdo há duas parcelas negativas ( -x^{2}/2, -y^{2}/3) e uma positiva ( +z^{2}/4), com RHS =1. Isso coincide exatamente com a forma padrão do hiperboloide de duas folhas.
Vamos reforçar com uma verificação geométrica simples (para você visualizar na prova): reescrevendo
\frac{z^{2}}{4}-\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{3}=1.
Se fixarmos x=y=0 obtemos \dfrac{z^{2}}{4}=1, logo z=\pm 2. Portanto as duas folhas estão centradas em z=2 e z=-2 (não há ponto com |z|<2). Para um valor de z com |z|>2, o corte por um plano z= constante é uma elipse (pois a expressão restante em x,y é negativa igual a um número negativo que dá elipse quando rearranjada). Para |z|<2 não existem pontos reais. Isso mostra que a superfície consiste em duas componentes desconexas (duas folhas), uma acima de z=2 e outra abaixo de z=-2: exatamente o comportamento de um hiperboloide de duas folhas.

Passo 6

d) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}-\dfrac{z^{2}}{4}=1. Dois termos positivos e um negativo com RHS =1 — isso corresponde ao hiperboloide de uma folha (superfície conectada). Portanto (d) não é a resposta.

Passo 7

e) \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}=z. Rearranjando fica \dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}-z=0, ou explicitamente z=\dfrac{x^{2}}{2}+\dfrac{y^{2}}{3}. Isso é um paraboloide elíptico (aberto para +z), não um hiperboloide de duas folhas. Então (e) está descartada.

Passo 8

Resumo e conclusão: apenas a alternativa (c) tem a combinação de sinais e RHS que caracteriza um hiperboloide de duas folhas; as outras alternativas representam cone, elipsóide, hiperboloide de uma folha ou paraboloide, respectivamente. Vai dar certo na prova — memorizando a forma padrão e contando sinais você resolve rápido.

Resposta

(c)

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