Justifique ou dê contra-exemplo.
a) Toda série convergente converge absolutamente?
b) Seja . Suponha que . Encontre o valor de para cada .
A série é convergente ou divergente? Justifique.
Passo 1
Este exercício tem duas partes: a) verificar se toda série convergente converge absolutamente (conteúdo: convergência e convergência absoluta de séries), b) dado que as somas parciais , encontrar e decidir se a série converge ou diverge.
Passo 2
Para a) a afirmação é falsa. Um contraexemplo clássico é a série alternada de Leibniz: . Por um lado, pelo critério da série alternada, essa série converge (os termos em módulo decrescem a zero). Por outro lado, a série dos valores absolutos é
que é a série harmônica, conhecida por divergir. Logo não converge absolutamente.
Passo 3
Para b) usamos que an=Sn-Sn-1 para n>=2, com Sn=1/ln(n+1) e Sn-1=1/ln n. Assim, an=1ln(n+1)-1ln n, n>=2,
e para n=1 temos a1=S1=1/ln2.
Passo 4
Como a soma parcial sumk=1^n ak é exatamente Sn=1/ln(n+1) e limntoinftySn=0, concluímos que a série sumk=1^inftyak converge e seu valor é 0.
Resposta
a) Não. Contraexemplo: a série alternada sum(-1)^k+1/k converge mas não converge absolutamente. b) an=1/ln(n+1)-1/ln n (com a1=1/ln2); e a série sum ak converge, com soma total 0.