Justifique ou dê contra-exemplo.
a) Toda série convergente converge absolutamente?
b) Seja Sn:=sumk=1^n ak. Suponha que Sn=1ln (n+1). Encontre o valor de an para cada n in N.
A série sumk=1^infty ak é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

Este exercício tem duas partes: a) verificar se toda série convergente converge absolutamente (conteúdo: convergência e convergência absoluta de séries), b) dado que as somas parciais Sn=sumk=1^n ak=1/ln(n+1), encontrar an e decidir se a série sum ak converge ou diverge.

Passo 2

Para a) a afirmação é falsa. Um contraexemplo clássico é a série alternada de Leibniz:
sumk=1^infty(-1)^k+11k. Por um lado, pelo critério da série alternada, essa série converge (os termos em módulo decrescem a zero). Por outro lado, a série dos valores absolutos é
sumk=1^inftyl|(-1)^k+11kr|=sumk=1^infty1k
que é a série harmônica, conhecida por divergir. Logo não converge absolutamente.

Passo 3

Para b) usamos que
an=Sn-Sn-1 para n>=2, com Sn=1/ln(n+1) e Sn-1=1/ln n. Assim,
an=1ln(n+1)-1ln n, n>=2,
e para n=1 temos a1=S1=1/ln2.

Passo 4

Como a soma parcial sumk=1^n ak é exatamente Sn=1/ln(n+1) e limntoinftySn=0, concluímos que a série sumk=1^inftyak converge e seu valor é 0.

Resposta

a) Não. Contraexemplo: a série alternada sum(-1)^k+1/k converge mas não converge absolutamente. b) an=1/ln(n+1)-1/ln n (com a1=1/ln2); e a série sum ak converge, com soma total 0.

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