A equação de demanda para uma certa mercadoria é dada por:
p x^3+5 p=18
onde 100 x unidades são demandadas ao dia quando p é o preço da unidade no dia. Encontre a taxa de variação da demanda em relação ao tempo quando o preço é e está aumentando a taxa de e está aumentando a taxa de ao dia.

Passo 1

A questão dá a equação implícita da demanda em função do preço: p,x^3+5p=18, onde a demanda real é Q=100x unidades por dia. Queremos encontrar dfracdQdt quando p=1,50 e dfracdpdt=0,05 (em dólares por dia).
Como Q=100x, basta achar primeiro dfracdxdt a partir da equação dada e depois usar dfracdQdt=100dfracdxdt.

Passo 2

Derivando implicitamente em relação ao tempo t a equação p,x^3+5p=18:
ddt(p,x^3)+5dpdt=0
Para ddt(p,x^3) usamos o produto:
ddt(p,x^3)=pcdot3x^2dxdt+x^3dpdt
Logo, substituindo:
3p,x^2dxdt+x^3dpdt+5dpdt=0
Isolando dfracdxdt:
3p,x^2dxdt=-(x^3+5)dpdt
dxdt=-(x^3+5)3p,x^2dpdt

Passo 3

Para p=1,50, a equação original dá:
1,50(x^3+5)=18
x^3+5=181,50=12
x^3=7,Longrightarrow,x=raiz[3]7

Passo 4

Substituindo x=raiz[3]7, p=1,50 e dpdt=0,05 na fórmula de dxdt:
dxdt=-(7+5)3cdot1,50,(raiz[3]7)^2,0,05 =-12times0,054,5times7^2/3 =-0,64,5,7^2/3 approx-0,0364(unidades de x por dia)

Passo 5

Finalmente, como Q=100x, temos
dQdt=100dxdtapprox100times(-0,0364)=-3,64
e a unidade é “unidades da mercadoria por dia”.

Resposta

A taxa de variação da demanda é aproximadamente -3,64 unidades por dia.

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