A equação de demanda onde x unidades são demandadas quando o preço unitário é p é dada abaixo. Determine a taxa de variação do preço p em relação a x :
2 p^3+4 p+3 x^2-10=0

Passo 1

Temos a equação implícita que relaciona o preço unitário p e a quantidade demandada x:
2p^3 + 4p + 3x^2 - 10 = 0
Para encontrar a taxa de variação dpdx, vamos usar diferenciação implícita, pois p é função de x.

Passo 2

Aplicando a derivada em relação a x em ambos os lados e lembrando que p=p(x), usamos a regra da cadeia para termos que envolvem p:
ddx(2p^3) + ddx(4p) + ddx(3x^2) - ddx(10) = 0
Calculando termo a termo:
  • ddx(2p^3) = 6p^2 cdot dpdx
  • ddx(4p) = 4 cdot dpdx
  • ddx(3x^2) = 6x
  • ddx(10) = 0
Logo:
6p^2 dpdx + 4 dpdx + 6x = 0

Passo 3

Agora, agrupamos os termos que contêm dpdx e isolamos essa taxa:
(6p^2 + 4)dpdx = -6x
Portanto:
dpdx = -6x6p^2 + 4 = -3x3p^2 + 2

Resposta

dpdx = -3x3p^2 + 2

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