Nos questões abaixo, é dada uma equação de demanda onde x unidades são demandadas quando o preço unitário é p. Ache a taxa de variação de p em relação a x : x^3+p^3=1.000

Passo 1

Temos a equação de demanda
x^3 + p^3 = 1000
O conteúdo aqui é derivada implícita, pois queremos dp/dx e p depende de x. Vamos usar a regra da cadeia para derivar p^3.

Passo 2

Derivamos ambos os lados em relação a x. A derivada de x^3 é 3x^2. Para p^3, aplicando a regra da cadeia:
ddx(p^3) = 3p^2 cdot dpdx
A constante 1000 some. Ficamos com:
3x^2 + 3p^2,dpdx = 0

Passo 3

Isolando dp/dx: basta transpor 3x^2 para o outro lado e dividir tudo por 3p^2:
3p^2,dpdx = -3x^2
dpdx = -3x^23p^2 = -x^2p^2

Passo 4

Se quisermos uma expressão só em função de x, usamos p^3 = 1000 - x^3, logo p = (1000 - x^3)^1/3. Substituindo em dp/dx:
dpdx = -x^2l(1000 - x^3r)^2/3

Resposta

dpdx = -x^2p^2 Em particular, como p^3 = 1000 - x^3, temos dpdx = -x^2(1000 - x^3)^2/3.

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