A equação diferencial abaixo é conhecida como oscilador de Van Der Pol com amortecimento não-linear:
Linearize o sistema em torno deste ponto de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, então o enunciado quer que a gente pegue a equação de Van der Pol
e ache a linearização em volta do ponto de equilíbrio.
Conteúdo: sistema de EDOs de primeira ordem e Jacobiano.
O que vamos usar:
- Passar a equação para um sistema de ordem 1;
- Encontrar o ponto de equilíbrio;
- Calcular a matriz Jacobiana e avaliá-la ali.
Passo 2
Primeiro, transforme a equação em sistema de primeira ordem. Defina
Então:
1) .
2) Da equação dada, isolamos :
Em notação do sistema:
Passo 3
A seguir, achamos o ponto de equilíbrio . No equilíbrio e , logo:
Da primeira equação vem .
Substituindo na segunda: ⇒ .
Então o equilíbrio é .
Passo 4
Agora, usamos a teoria de linearização: para , o sistema linear aproximado perto de é
onde é o Jacobian. Aqui e com
A Jacobiana é
$$
D\mathbf f = .
$$
Passo 5
Calculemos cada derivada parcial e depois avaliamos em partial f2partial x1g|(0,0) = -1, partial f2partial x2g|(0,0) = mu :
e
Agora em :
Resposta
A matriz linearizada em torno de D f(0,0) = 0 & 1 [6pt] -1 & mu é