A equação diferencial abaixo é conhecida como oscilador de Van Der Pol com amortecimento não-linear:
d^2 xd t^2-mu(1-x^2) d xd t+x=0
Linearize o sistema em torno deste ponto de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, então o enunciado quer que a gente pegue a equação de Van der Pol
d^2 xd t^2 - mu,(1 - x^2),d xd t + x = 0
e ache a linearização em volta do ponto de equilíbrio.
Conteúdo: sistema de EDOs de primeira ordem e Jacobiano.
O que vamos usar:
- Passar a equação para um sistema de ordem 1;
- Encontrar o ponto de equilíbrio;
- Calcular a matriz Jacobiana e avaliá-la ali.

Passo 2

Primeiro, transforme a equação em sistema de primeira ordem. Defina
x1 = x, x2 = dot x = dxdt
Então:
1) ddot x = mu,(1 - x^2),dot x - x.
2) Da equação dada, isolamos dot x2 = mu,(1 - x1^2),x2 - x1:
Em notação do sistema:

Passo 3

A seguir, achamos o ponto de equilíbrio x2^* = 0, mu,(1 - (x1^*)^2),x2^* - x1^* = 0 . No equilíbrio e , logo:
Da primeira equação vem .
Substituindo na segunda: .
Então o equilíbrio é .

Passo 4

Agora, usamos a teoria de linearização: para de, o sistema linear aproximado perto de f1(x1,x2) = x2, f2(x1,x2) = mu,(1 - x1^2),x2 - x1 é
D f = partial f1partial x1 & partial f1partial x2[6pt] partial f2partial x1 & partial f2partial x2
onde é o Jacobian. Aqui e
com

A Jacobiana é
$$
D\mathbf f =
.
$$

Passo 5

Calculemos cada derivada parcial e depois avaliamos em partial f2partial x1g|(0,0) = -1, partial f2partial x2g|(0,0) = mu :

  1. e

    Agora em :

Resposta

A matriz linearizada em torno de D f(0,0) = 0 & 1 [6pt] -1 & mu é
dot x1 = x2, dot x2 = -,x1 + mu,x2
Ou, escrevendo o sistema linear aproximado:

Exercícios relacionados