Equação diferencial de Bernoulli. É uma equação diferencial não linear de 1^{\underline{a}} ordem da forma
y^{\prime}+p(x) y=q(x) y^{n},
onde n é uma constante real diferente de 0 e 1 . Se n=1, (B) é uma equação linear homogênea. Observe que y=0 é sempre uma solução de (B). Para achar outras soluções, mostre que a mudança z=y^{-n+1} transforma (B) na equação linear
z^{\prime}+(1-n) p(x) z=(1-n) q(x) .
Use esse método para resolver as seguintes equações:
(d) x^{3} y^{\prime}=2 y\left(\sqrt[3]{y}+3 x^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação
x^{3}y' = 2y\bigl(\sqrt[3]{y}+3x^{2}\bigr)
e pede para usar o método de Bernoulli, que consiste em escrever a equação na forma
y' + p(x)\,y = q(x)\,y^{n}
e depois fazer a troca
z = y^{-n+1}
para obter uma equação linear em z.

Passo 2

Vamos colocar a equação no formato y'+p(x)y = q(x)y^n. Dividindo ambos os lados por x^3, temos
y' = \frac{2y^{4/3}}{x^3} + \frac{6y}{x}\,.
Isto é equivalente a
y' - \frac{6}{x}\,y = \frac{2}{x^3}\,y^{4/3}\,.
Portanto é uma equação de Bernoulli com
p(x) = -\frac{6}{x}, \quad q(x) = \frac{2}{x^3}, \quad n = \frac{4}{3}\,.

Passo 3

Fazendo a mudança
z = y^{-n+1} = y^{-1/3},
calcúlo z'. Como z = y^{-1/3},
z' = -\tfrac{1}{3}\,y^{-4/3}\,y'.
Usando a expressão de y' obtida, chega-se a
z' + \frac{2}{x}\,z = -\frac{2}{3x^3},
que é uma equação linear de primeira ordem em z.

Passo 4

Para resolver
z' + \frac{2}{x}\,z = -\frac{2}{3x^3}
usamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int \frac{2}{x}\,dx\Bigr) = x^2.
Multiplicando a equação por x^2 obtemos
\bigl(x^2 z\bigr)' = -\frac{2}{3x}\,.
Integrando em x:
x^2 z = -\frac{2}{3}\int \frac{1}{x}\,dx + C = -\frac{2}{3}\ln\lvert x\rvert + C.
Logo
z = \frac{C - \tfrac{2}{3}\ln\lvert x\rvert}{x^2}\,.

Passo 5

Voltando a y, lembramos que z = y^{-1/3}, então
y^{-1/3} = \frac{C - \tfrac{2}{3}\ln\lvert x\rvert}{x^2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{y^{1/3}} = \frac{C - \tfrac{2}{3}\ln\lvert x\rvert}{x^2}
e, elevando ao cubo,
y = \left(\frac{x^2}{C - \tfrac{2}{3}\ln\lvert x\rvert}\right)^{3} = \frac{x^{6}}{\bigl(C - \tfrac{2}{3}\ln\lvert x\rvert\bigr)^{3}}\,.

Resposta

A solução geral é
y(x) = \frac{x^{6}}{\bigl(C - \tfrac{2}{3}\ln|x|\bigr)^{3}},
além da solução trivial y=0.

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