Exercícios sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
(f) Ache um fator integrante da forma
para a equação
.
(f) Ache um fator integrante da forma
Passo 1
O enunciado pede um fator integrante da forma
para a equação
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente de
.
Passo 2
Reescrevemos a equação no formato
. Agrupando termos:
logo
e definimos
, de modo que
.
Passo 3
Para
tornar a forma exata, vale
Como
, temos
Igualando essas expressões e isolando
dá
Passo 4
Calculamos as derivadas parciais:
Então
Logo
Passo 5
Integrando em relação a
:
Escolhendo
, fica
Resposta
O fator integrante é