Exercícios sobre equações diferenciais exatas e fatores integrantes.
(f) Ache um fator integrante da forma \mu=\mu\left(x^{2}+y^{2}\right) para a equação x d x+y d y+x(x d y-y d x)=0.

Passo 1

O enunciado pede um fator integrante da forma \mu=\mu(x^{2}+y^{2}) para a equação
x\,dx+y\,dy+x\bigl(x\,dy - y\,dx\bigr)=0.
O conteúdo aqui é equações diferenciais exatas e fator integrante dependente de t=x^{2}+y^{2}.

Passo 2

Reescrevemos a equação no formato M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy=0. Agrupando termos:
x\,dx - x\,y\,dx + x^{2}\,dy + y\,dy = 0
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M(x,y) = x - x\,y,\quad N(x,y) = x^{2} + y,
e definimos t = x^{2}+y^{2}, de modo que \mu=\mu(t).

Passo 3

Para \mu=\mu(t) tornar a forma exata, vale
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(\mu M\bigr) = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(\mu N\bigr).
Como \mu' = d\mu/dt, temos
\frac{\partial}{\partial y}(\mu M) = \mu'\,M\,\frac{\partial t}{\partial y} + \mu\,M_{y}, \quad \frac{\partial}{\partial x}(\mu N) = \mu'\,N\,\frac{\partial t}{\partial x} + \mu\,N_{x}.
Igualando essas expressões e isolando \mu'/\mu
\mu'\bigl(M\,t_{y} - N\,t_{x}\bigr) = \mu\bigl(N_{x}-M_{y}\bigr) \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mu'}{\mu} =\frac{N_{x}-M_{y}}{M\,t_{y}-N\,t_{x}}.

Passo 4

Calculamos as derivadas parciais:
M_{y} = -x,\quad N_{x}=2x,\quad t_{x}=2x,\quad t_{y}=2y.
Então
N_{x}-M_{y} = 2x - (-x) = 3x,
M\,t_{y} - N\,t_{x} = (x - xy)\,2y - (x^{2}+y)\,2x =2xy - 2xy^{2} -2x^{3} -2xy =-2x\,(x^{2}+y^{2}) =-2x\,t.
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\frac{\mu'}{\mu} =\frac{3x}{-2x\,t} =-\frac{3}{2t}.

Passo 5

Integrando em relação a t:
\ln\mu = \int \frac{\mu'}{\mu}\,dt = \int \bigl(-\tfrac{3}{2t}\bigr)\,dt = -\tfrac{3}{2}\ln t + C \quad\Longrightarrow\quad \mu = C\,t^{-\tfrac{3}{2}}.
Escolhendo C=1, fica
\mu(t) = t^{-\tfrac{3}{2}} = (x^{2}+y^{2})^{-\tfrac{3}{2}}.

Resposta

O fator integrante é
\boxed{\mu(x,y) = \bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)^{-\tfrac{3}{2}}.}

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