Resolva por esse método as seguintes equações:
y y^{\prime \prime}=y^{2} y^{\prime}+\left(y^{\prime}\right)^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
y\,y'' = y^2\,y' + (y')^2
e pede a solução pelo método de redução de ordem. Para isso fazemos a mudança de variável
p(y) = y',
de modo que
y'' = \frac{dp}{dx} = \frac{dp}{dy}\,\frac{dy}{dx} = p\,\frac{dp}{dy}.

Passo 2

Substituindo y'' e y' na equação original fica
y\;p\;\frac{dp}{dy} \;=\; y^2\,p \;+\; p^2.
Procuramos soluções com p\neq 0, então dividimos por p:
y\,\frac{dp}{dy} = y^2 + p \quad\Longrightarrow\quad \frac{dp}{dy} - \frac{1}{y}\,p = y,
que é uma EDO linear em p(y).

Passo 3

O fator integrante é
\mu(y) = e^{-\int\frac{1}{y}dy} = \frac{1}{y}.
Multiplicando a EDO por \mu(y) obtém-se
\frac{1}{y}\,\frac{dp}{dy} - \frac{1}{y^2}\,p = 1 \quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dy}\!\Bigl(\frac{p}{y}\Bigr) = 1.
Integrando em y resulta
\frac{p}{y} = y + C_1 \quad\Longrightarrow\quad p = y' = y^2 + C_1\,y.

Passo 4

Agora resolvemos a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = y^2 + C_1\,y = y\,(y + C_1).
Separe variáveis:
\int \frac{dy}{y(y+C_1)} = \int dx.
Em frações parciais
\frac{1}{y(y+C_1)} = \frac{1}{C_1}\Bigl(\frac{1}{y} - \frac{1}{y+C_1}\Bigr)
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\frac{1}{C_1}\ln\Bigl|\frac{y}{y+C_1}\Bigr| = x + C_2.

Passo 5

Exponenciando e definindo A = e^{C_1C_2} obtemos
\frac{y}{y + C_1} = A\,e^{C_1 x} \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{C_1\,A\,e^{C_1 x}}{1 - A\,e^{C_1 x}}.
Além disso, a família de soluções constantes y = k (com k arbitrário) também satisfaz a EDO, pois então y'=y''=0.

Resposta

A solução geral não constante é
y(x) = \frac{C_1\,A\,e^{C_1 x}}{1 - A\,e^{C_1 x}},
onde C_1 e A são constantes arbitrárias.
As soluções constantes são
y(x) = k,\quad k\in\mathbb{R}.

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