Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x+1}{3 y}
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=\frac{2x+1}{3y}
e pergunta se essa equação pode ser resolvida usando separação de variáveis (escolher entre (A) Sim ou (B) Não). As informações relevantes são:
  • A equação está dada na forma de derivada \dfrac{dy}{dx}.
  • O lado direito é a função racional \dfrac{2x+1}{3y}.
    O que se pede: decidir se é possível aplicar o método de separação de variáveis para resolver essa equação.

Passo 2

O que significa “separação de variáveis”?
  • Uma equação de primeira ordem é separável se ela puder ser escrita como produto de uma função que depende só de x por uma função que depende só de y, ou equivalentemente se puder ser rearranjada na forma
N(y)\,dy = M(x)\,dx,
onde N depende apenas de y e M depende apenas de x.
  • A ideia é isolar todos os termos com y e dy de um lado e todos os termos com x e dx do outro, para então integrar cada lado em função da sua variável.
  • Exemplo curto e intuitivo: se \dfrac{dy}{dx}=x\cdot y^2, podemos escrever \dfrac{1}{y^2}dy = x\,dx e integrar ambos os lados.

Passo 3

Aplicando o critério à equação dada: escrevemos o lado direito como produto de algo que depende só de x por algo que depende só de y:
\frac{2x+1}{3y}=\left(\frac{1}{3}(2x+1)\right)\cdot\left(\frac{1}{y}\right).
Aqui \dfrac{1}{3}(2x+1) depende apenas de x e \dfrac{1}{y} depende apenas de y. Isso mostra que a equação pode ser reorganizada para separar as variáveis.

Passo 4

Agora mostro concretamente a separação e a integração (isso é exatamente como se resolveria na prova, passo a passo):
  • Multiplica ambos os lados por 3y\,dx para agrupar as variáveis:
3y\,dy = (2x+1)\,dx.
  • Integra os dois lados (cada lado em sua variável):
\int 3y\,dy = \int (2x+1)\,dx.
  • Calcule as integrais explicitamente. Do lado esquerdo:
\int 3y\,dy = 3\int y\,dy = 3\cdot\frac{y^2}{2}=\frac{3}{2}y^2.
Do lado direito:
\int (2x+1)\,dx = \int 2x\,dx + \int 1\,dx = x^2 + x + C,
onde C é a constante de integração. Portanto obtemos a relação implícita
\frac{3}{2}y^2 = x^2 + x + C.

Passo 5

Se quiser isolar y (às vezes pedem a solução explícita), procede-se assim:
y^2 = \frac{2}{3}\bigl(x^2 + x + C\bigr).
Renomeando a constante \dfrac{2}{3}C por C' para simplificar, tem-se
y = \pm\sqrt{\frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + C'}.
Observações úteis para a prova: lembre-se de mencionar a constante de integração e o sinal ± quando passar de y^2 para y; também verificar se há condições iniciais que determinem o sinal e o valor da constante.

Resposta

(A)

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