Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
(B) Não
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
e pergunta se essa equação pode ser resolvida usando separação de variáveis (escolher entre (A) Sim ou (B) Não). As informações relevantes são:
- A equação está dada na forma de derivada
. - O lado direito é a função racional
.
O que se pede: decidir se é possível aplicar o método de separação de variáveis para resolver essa equação.
Passo 2
O que significa “separação de variáveis”?
- Uma equação de primeira ordem é separável se ela puder ser escrita como produto de uma função que depende só de
por uma função que depende só de , ou equivalentemente se puder ser rearranjada na forma
onde
depende apenas de
e
depende apenas de
.
- A ideia é isolar todos os termos com
e de um lado e todos os termos com e do outro, para então integrar cada lado em função da sua variável. - Exemplo curto e intuitivo: se
, podemos escrever e integrar ambos os lados.
Passo 3
Aplicando o critério à equação dada: escrevemos o lado direito como produto de algo que depende só de
por algo que depende só de
:
Aqui
depende apenas de
e
depende apenas de
. Isso mostra que a equação pode ser reorganizada para separar as variáveis.
Passo 4
Agora mostro concretamente a separação e a integração (isso é exatamente como se resolveria na prova, passo a passo):
- Multiplica ambos os lados por
para agrupar as variáveis:
- Integra os dois lados (cada lado em sua variável):
- Calcule as integrais explicitamente. Do lado esquerdo:
Do lado direito:
onde
é a constante de integração. Portanto obtemos a relação implícita
Passo 5
Se quiser isolar
(às vezes pedem a solução explícita), procede-se assim:
Renomeando a constante
por
para simplificar, tem-se
Observações úteis para a prova: lembre-se de mencionar a constante de integração e o sinal ± quando passar de
para
; também verificar se há condições iniciais que determinem o sinal e o valor da constante.
Resposta
(A)