Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
\frac{d y}{d x}=e^{x+y}
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
B) Não

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dx}=e^{x+y}
e pede para escolher entre duas opções se essa equação pode ser resolvida por separação de variáveis: (A) Sim ou (B) Não. As informações relevantes são apenas a forma da derivada dada e as opções de resposta.

Passo 2

O que significa “separação de variáveis”?\n
Uma equação diferencial da forma \dfrac{dy}{dx}=F(x,y) é separável se for possível escrever F(x,y) como um produto de uma função que depende só de x e outra que depende só de y, isto é,
\frac{dy}{dx}=g(x)\,h(y).
Quando isso acontece, pode-se colocar todos os termos que dependem de y no lado esquerdo e os que dependem de x no lado direito:
\frac{1}{h(y)}\,dy=g(x)\,dx,
e então integrar ambos os lados. Esse é o procedimento padrão de separação de variáveis. Aqui cada símbolo significa:
  • \dfrac{dy}{dx}: derivada de y em relação a x.
  • g(x): função dependente somente de x.
  • h(y): função dependente somente de y.

Passo 3

Aplicando a ideia ao caso dado. Observe que
e^{x+y}=e^{x}\,e^{y},
ou seja, o lado direito é produto de uma função só de x e uma só de y. Portanto é possível separar as variáveis. Colocando os termos em lados opostos:
\frac{dy}{dx}=e^{x}e^{y}
\Rightarrow e^{-y}\,dy=e^{x}\,dx.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados. Vou mostrar cada passo da integração para que fique bem claro.\n
Integramos a equação \displaystyle e^{-y}\,dy=e^{x}\,dx:
\int e^{-y}\,dy=\int e^{x}\,dx.
Calcule as integrais separadamente:
  • Para \displaystyle \int e^{-y}\,dy: faça a substituição direta; sabemos que a derivada de e^{-y} é -e^{-y}, então
\int e^{-y}\,dy=-e^{-y}+C_1.
  • Para \displaystyle \int e^{x}\,dx: é direto,
\int e^{x}\,dx=e^{x}+C_2.
Juntando e absorvendo constantes em uma só constante C (ou seja, C=C_2-C_1), obtemos
- e^{-y}=e^{x}+C.
Podemos rearranjar para uma forma explícita de y. Multiplicando por -1 e renomeando a constante C_1=-C:
e^{-y}=C_1-e^{x}.
Tomando logaritmo (lembrando que a exponencial é positiva, então é preciso que C_1-e^{x}>0 para y real),
-y=\ln\!\bigl(C_1-e^{x}\bigr)
e finalmente
y=-\ln\!\bigl(C_1-e^{x}\bigr),
onde C_1 é constante arbitrária (e deve satisfazer C_1>e^{x} no domínio considerado). Essa é a família de soluções gerais obtida por separação de variáveis.

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (passo a passo que deve aparecer na sua cabeça quando vir uma ODE):
  1. Olhe para o lado direito F(x,y). Tente fatorar ou reescrever como produto g(x)h(y). Se conseguir, é separável.
  2. Separe, ou seja, coloque todas as coisas com y multiplicando dy e as com x multiplicando dx.
  3. Integre cada lado e trate a constante de integração com cuidado (pode ser combinada).
  4. Se pedir solução explícita, tente isolar y; observe domínio (condição para o argumento do log sendo positivo, por exemplo).
    Exemplo paralelo rápido: se \dfrac{dy}{dx}=x\,y, então \dfrac{dy}{y}=x\,dx, integrando \ln|y|=x^{2}/2+C, e assim por diante.

Resposta

(A)

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