Essa equação diferencial pode ser resolvida usando separação de variáveis?
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
B) Não
Escolha 1 resposta:
(A) Sim
B) Não
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para escolher entre duas opções se essa equação pode ser resolvida por separação de variáveis: (A) Sim ou (B) Não. As informações relevantes são apenas a forma da derivada dada e as opções de resposta.
Passo 2
O que significa “separação de variáveis”?\n
Uma equação diferencial da forma é separável se for possível escrever
como um produto de uma função que depende só de
e outra que depende só de
, isto é,
Uma equação diferencial da forma
Quando isso acontece, pode-se colocar todos os termos que dependem de
no lado esquerdo e os que dependem de
no lado direito:
e então integrar ambos os lados. Esse é o procedimento padrão de separação de variáveis. Aqui cada símbolo significa:
-
: derivada de em relação a . -
: função dependente somente de . -
: função dependente somente de .
Passo 3
Aplicando a ideia ao caso dado. Observe que
ou seja, o lado direito é produto de uma função só de
e uma só de
. Portanto é possível separar as variáveis. Colocando os termos em lados opostos:
Passo 4
Agora integramos ambos os lados. Vou mostrar cada passo da integração para que fique bem claro.\n
Integramos a equação :
Integramos a equação
Calcule as integrais separadamente:
- Para
: faça a substituição direta; sabemos que a derivada de é , então
- Para
: é direto,
Juntando e absorvendo constantes em uma só constante
(ou seja,
), obtemos
Podemos rearranjar para uma forma explícita de
. Multiplicando por
e renomeando a constante
:
Tomando logaritmo (lembrando que a exponencial é positiva, então é preciso que
para
real),
e finalmente
onde
é constante arbitrária (e deve satisfazer
no domínio considerado). Essa é a família de soluções gerais obtida por separação de variáveis.
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (passo a passo que deve aparecer na sua cabeça quando vir uma ODE):
- Olhe para o lado direito
. Tente fatorar ou reescrever como produto . Se conseguir, é separável. - Separe, ou seja, coloque todas as coisas com
multiplicando e as com multiplicando . - Integre cada lado e trate a constante de integração com cuidado (pode ser combinada).
- Se pedir solução explícita, tente isolar
; observe domínio (condição para o argumento do log sendo positivo, por exemplo).
Exemplo paralelo rápido: se, então , integrando , e assim por diante.
Resposta
(A)