A equação de difusão de temperatura em uma barra infinita com termo fonte é dada por
ut(x, t)=c^2 ux x(x, t)+f(x, t), & para x in(-infty,+infty), t in(0,+infty), u(x, 0)=0, & para x in(-infty,+infty)
A função f(x, t) modela uma fonte de calor. Encontre a solução deste problema. Em seguida, escreva a solução nos seguintes exemplos:
f(x, t)=de

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de difusão de temperatura numa barra infinita
com termo fonte
ut(x,t)=c^2uxx(x,t)+f(x,t), xinR,;t>0,
sujeita à condição inicial
u(x,0)=0
Matéria envolvida: equação de calor e aplicação do princípio de Duhamel. Vamos usar o núcleo fundamental da equação de calor no domínio infinito.

Passo 2

O núcleo fundamental (ou função de Green) G(x,t) para a equação de calor ut=c^2uxx em R é dado por
G(x,t)=1raiz4pi c^2texpl(-x^24c^2tr), t>0
Ele representa a resposta à condição inicial u(x,0)=de.

Passo 3

Pelo princípio de Duhamel, a solução da equação com fonte f(x,t) e condição inicial zero é
u(x,t)=integral0^tintegral-infty^+inftyG(x-xi,,t-tau),f(xi,tau),dxi,dtau
Isso nada mais é do que a superposição do efeito de cada contribuição de f no passado.

Passo 4

Agora escolhemos f(xi,tau)=de. Usando a propriedade da delta,
integral-infty^+inftyG(x-xi,,t-tau),de
obtém-se
u(x,t)=integral0^tG(x-a,,t-tau),dtau

Passo 5

Para escrever explicitamente,
u(x,t)=integral0^t1raiz4pi c^2,(t-tau)expl(-(x-a)^24c^2,(t-tau)r),dtau

Resposta

u(x,t)=integral0^t1raiz4pi c^2,(t-tau)expl(-(x-a)^24c^2,(t-tau)r),dtau

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