Conclua, por linearidade, que a solução do problema geral acima é
u(x, t)=f(x+c t)+f(x-c t)2+12 c integralx-c t^x+c t g(y) d y
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação da onda utt=c^2uxx em xin(-infty,+infty), t>0, com condições iniciais u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=g(x). O conteúdo é a fórmula de D’Alembert e vamos precisar usar a linearidade da equação, além de representar a solução geral como soma de duas soluções mais simples.
Passo 2
Como a equação e as condições iniciais são lineares, podemos decompor u(x,t)=v(x,t)+w(x,t), onde
v satisfaz vtt=c^2vxx, v(x,0)=f(x) e vt(x,0)=0.
w satisfaz wtt=c^2wxx, w(x,0)=0 e wt(x,0)=g(x).
Passo 3
Para encontrar v, assumimos a forma geral de duas ondas viajando em sentidos opostos:
v(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)
Passo 4
Aplicando v(x,0)=f(x) dá F(x)+G(x)=f(x), e vt(x,0)=cF'(x)-cG'(x)=0 implica F'(x)=G'(x). Integrando e escolhendo constantes adequadas, obtemos