Considere a equação da onda
ut t(x, t)=c^2 ux x(x, t), & para x in(-infty,+infty), t in(0,+infty), u(x, 0)=f(x), & para x in(-infty,+infty), ut(x, 0)=g(x), & para x in(-infty,+infty)
Conclua, por linearidade, que a solução do problema geral acima é
u(x, t)=f(x+c t)+f(x-c t)2+12 c integralx-c t^x+c t g(y) d y

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação da onda utt=c^2uxx em xin(-infty,+infty), t>0, com condições iniciais u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=g(x). O conteúdo é a fórmula de D’Alembert e vamos precisar usar a linearidade da equação, além de representar a solução geral como soma de duas soluções mais simples.

Passo 2

Como a equação e as condições iniciais são lineares, podemos decompor u(x,t)=v(x,t)+w(x,t), onde
  • v satisfaz vtt=c^2vxx, v(x,0)=f(x) e vt(x,0)=0.
  • w satisfaz wtt=c^2wxx, w(x,0)=0 e wt(x,0)=g(x).

Passo 3

Para encontrar v, assumimos a forma geral de duas ondas viajando em sentidos opostos:
v(x,t)=F(x+ct)+G(x-ct)

Passo 4

Aplicando v(x,0)=f(x) F(x)+G(x)=f(x), e vt(x,0)=cF'(x)-cG'(x)=0 implica F'(x)=G'(x). Integrando e escolhendo constantes adequadas, obtemos
F(x)=G(x)=f(x)2,

Passo 5

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v(x,t)=f(x+ct)+f(x-ct)2

Passo 6

Para encontrar w, usamos a mesma forma
w(x,t)=P(x+ct)+Q(x-ct)

Passo 7

As condições w(x,0)=0 e wt(x,0)=g(x) geram
P(x)+Q(x)=0,
cP'(x)-cQ'(x)=g(x) Longrightarrow 2cP'(x)=g(x)

Passo 8

Integrando e escolhendo constantes, temos
P(x)=12cintegral^x g(s),ds, Q(x)=-P(x),

Passo 9

o que leva a
w(x,t)=P(x+ct)-P(x-ct)=12cintegralx-ct^x+ctg(y),dy

Passo 10

Pela superposição, a solução geral fica u=v+w.

Resposta

u(x,t)=\frac{f(x+ct)+f(x-ct)}{2}+\frac{1}{2c}\int_{x-ct}^{x+ct}g(y),dy

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