Considere a equação da onda
ut t(x, t)=c^2 ux x(x, t), & para x in(-infty,+infty), t in(0,+infty), u(x, 0)=f(x), & para x in(-infty,+infty), ut(x, 0)=g(x), & para x in(-infty,+infty)
Como visto em aula, mostre que, se g(x) equiv 0, então a solução da equação é dada por
u(x, t)=f(x+c t)+f(x-c t)2

Passo 1

O enunciado considera a equação da onda unidimensional utt=c^2uxx para xin(-infty,infty) e t>0, com condições iniciais u(x,0)=f(x) e ut(x,0)=g(x). Precisamos mostrar que, quando g(x)equiv0, a solução é dada por u(x,t)=tfrac12l(f(x+ct)+f(x-ct)r). O conteúdo usado aqui é o método de d’Alembert (solução geral como soma de duas ondas viajantes).

Passo 2

Recordando a solução geral da equação da onda, temos que qualquer solução suave pode ser escrita como a soma de duas funções arbitrárias:
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)
essas expressões, F representa uma onda que viaja para a direita e G uma que viaja para a esquerda.

Passo 3

Para impor a condição inicial de deslocamento, avaliamos em t=0:
u(x,0)=F(x)+G(x)=f(x)
Isso nos dá a relação entre F e G:
F(x)+G(x)=f(x)

Passo 4

Agora usamos a condição inicial de velocidade. Diferenciando u em relação a t e avaliando em t=0 obtemos:
ut(x,t)=-cF'(x-ct)+cG'(x+ct),
logo em t=0:
ut(x,0)=-cF'(x)+cG'(x)=g(x)
Como g(x)equiv0, segue
-cF'(x)+cG'(x)=0
G'(x)=F'(x)
e então G(x)=F(x)+C.

Passo 5

Para determinar a constante C, notamos que a condição F(x)+G(x)=f(x) fica
F(x)+l(F(x)+Cr)=f(x) implies 2F(x)+C=f(x)
Como podemos incorporar uma constante de deslocamento em F ou G sem alterar a forma geral (e para manter limites adequados em xtopminfty), escolhemos C=0. Então
2F(x)=f(x) implies F(x)=tfrac12f(x),
e também G(x)=tfrac12f(x). Assim,
u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)=tfrac12f(x-ct)+tfrac12f(x+ct)

Resposta

u(x,t)=tfrac12l(f(x+ct)+f(x-ct)r).

Exercícios relacionados