Equação de Euler I. Considere um volume qualquer no interior de um fluido delimitado por uma superfície fechada de área A0. A força hidrostática total Fh i d que atua nesse volume é dada por
Fh i d=-ointA0 p(r, t) n d A=-integralV0 nabla p d V
onde p(r, t) é a pressão e a segunda igualdade foi obtida a partir da definição integral do gradiente. (a) Considerando agora um elemento de volume de muito pequeno do fluido, verifique que a 2.a Lei de Newton para a esse elemento implica em
rho d vd t=-nabla p

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que, num fluido, a força hidrostática total sobre um volume qualquer pode ser escrita como
Frm hid ;=; -ointA0 p( r,t), n,dA ;=;- integralV0nabla p,dV
A tarefa (parte (a)) é mostrar que, para um pedacinho de fluido de volume ∂V, a 2ª Lei de Newton dá
rho,d vdt ;=; -,nabla p
Conteúdo: mecânica dos fluidos (Equação de Euler), 2ª Lei de Newton (F = m a) e uso do teorema integral do gradiente. Precisamos aplicar F = m a ao elemento ∂V usando a expressão de Frm hid.

Passo 2

A 2ª Lei de Newton, em forma vetorial para um corpo ou elemento de massa m, é
m, a ;=; Frm total
Aqui a aceleração a é a derivada material da velocidade:
a = d vdt
No nosso caso, a única força que estamos considerando é a força hidrostática Frm hid.

Passo 3

Pega a expressão integral que já veio no enunciado: para um volume V0 qualquer
Frm hid ;=;- integralV0nabla p,dV
Agora escolhe V0=de, um voluminho infinitesimal. Como nabla p varia bem pouco dentro de de, posso aproximar
integralde
Logo
Frm hid = -,nabla p,de

Passo 4

A massa desse pedacinho de fluido é
m = rho,de
onde rho é a densidade (assumida constante sobre de).

Passo 5

Agora jogo tudo na 2ª Lei:
m,d vdt ;=; Frm hid longrightarrow rho,de
É só dividir os dois lados por de (não zero) para simplificar:

Resposta

boxedrho,d vdt = -,nabla p

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