Equação de Euler I. Considere um volume qualquer no interior de um fluido delimitado por uma superfície fechada de área
. A força hidrostática total
que atua nesse volume é dada por
onde
é a pressão e a segunda igualdade foi obtida a partir da definição integral do gradiente. (a) Considerando agora um elemento de volume
muito pequeno do fluido, verifique que a 2.a Lei de Newton para a esse elemento implica em
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que, num fluido, a força hidrostática total sobre um volume qualquer pode ser escrita como
A tarefa (parte (a)) é mostrar que, para um pedacinho de fluido de volume ∂V, a 2ª Lei de Newton dá
Conteúdo: mecânica dos fluidos (Equação de Euler), 2ª Lei de Newton (F = m a) e uso do teorema integral do gradiente. Precisamos aplicar F = m a ao elemento ∂V usando a expressão de
.
Passo 2
A 2ª Lei de Newton, em forma vetorial para um corpo ou elemento de massa m, é
Aqui a aceleração
é a derivada material da velocidade:
No nosso caso, a única força que estamos considerando é a força hidrostática
.
Passo 3
Pega a expressão integral que já veio no enunciado: para um volume
qualquer
Agora escolhe
, um voluminho infinitesimal. Como
varia bem pouco dentro de
, posso aproximar
Logo
Passo 4
A massa desse pedacinho de fluido é
onde
é a densidade (assumida constante sobre
).
Passo 5
Agora jogo tudo na 2ª Lei:
É só dividir os dois lados por
(não zero) para simplificar: