onde
é a pressão e a segunda igualdade foi obtida a partir da definição integral do gradiente. (a) Considerando agora um elemento de volume
muito pequeno do fluido, verifique que a 2.a Lei de Newton para a esse elemento implica em
Passo 1
Beleza, vamos lá: o enunciado diz que a força hidrostática sobre um volume qualquer de fluido pode ser escrita em forma de superfície
e, usando o teorema da divergência, isso vira
Agora a ideia é pegar um pedacinho pequeníssimo de fluido, com volume
, aplicar a 2.ª Lei de Newton (
) e mostrar que daí sai
Matéria: mecânica de fluidos / equação de movimento (Navier–Stokes sem viscosidade). Vamos precisar de: conceito de densidade
, massa
, gradiente de pressão e a 2.ª Lei de Newton.
Passo 2
Para esse pedacinho de fluido de volume
:
- A massa dele é
- A força hidrostática sobre esse volume é
Como
é muito pequeno,
varia pouquinho dentro dele, então podemos aproximar:
Aqui usamos a definição de gradiente:
é o vetor que aponta a direção de maior aumento de
e cujo módulo diz a “pendência” dessa variação.
Passo 3
Agora aplicamos a 2.ª Lei de Newton ao pedacinho:
Substituindo
e
, fica
É só dividir ambos os lados por
(que é não-nulo) e pronto: