Fh i d=-ointA0 p(r, t) n d A=-integralV0 nabla p d V
onde p(r, t) é a pressão e a segunda igualdade foi obtida a partir da definição integral do gradiente. (a) Considerando agora um elemento de volume de muito pequeno do fluido, verifique que a 2.a Lei de Newton para a esse elemento implica em
rho d vd t=-nabla p

Passo 1

Beleza, vamos lá: o enunciado diz que a força hidrostática sobre um volume qualquer de fluido pode ser escrita em forma de superfície
Fhid=-ointA0 p(r,t),n,dA
e, usando o teorema da divergência, isso vira
Fhid=-integralV0nabla p,dV
Agora a ideia é pegar um pedacinho pequeníssimo de fluido, com volume rho,dvdt=-nabla p , aplicar a 2.ª Lei de Newton ( ) e mostrar que daí sai
Matéria: mecânica de fluidos / equação de movimento (Navier–Stokes sem viscosidade). Vamos precisar de: conceito de densidade , massa , gradiente de pressão e a 2.ª Lei de Newton.

Passo 2

Para esse pedacinho de fluido de volume m = rho,de:
  1. A massa dele é
Fhid = -integralde
  1. A força hidrostática sobre esse volume é
Fhidapprox -nabla p;de
Como é muito pequeno, varia pouquinho dentro dele, então podemos aproximar:
Aqui usamos a definição de gradiente: é o vetor que aponta a direção de maior aumento de e cujo módulo diz a “pendência” dessa variação.

Passo 3

Agora aplicamos a 2.ª Lei de Newton ao pedacinho:
m,dvdt ;=;Fhid
Substituindo rho,de e , fica
É só dividir ambos os lados por (que é não-nulo) e pronto:

Resposta

boxedrho;dvdt ;=; -,nabla p

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