Equação de Euler I. Considere um volume qualquer no interior de um fluido delimitado por uma superfície fechada de área A0. A força hidrostática total Fh i d que atua nesse volume é dada por
Fh i d=-ointA0 p(r, t) n d A=-integralV0 nabla p d V
onde p(r, t) é a pressão e a segunda igualdade foi obtida a partir da definição integral do gradiente. (b) Se acrescentarmos o efeito do campo gravitacional terrestre (que é uniforme), como a equação anterior se modifica? Justifique.

Passo 1

Então, o exercício diz o seguinte: num volume qualquer de um fluido fechado pela superfície Fhid ;=; -ointA0 p(r,t),n,dA ;=; -integralV0nabla p,dV , a força hidrostática total é
(essa segunda forma vem do teorema da divergão).
Matéria envolvida: estática de fluidos e teorema da divergência.
O que vamos precisar: entender que o campo gravitacional é uma força de volume (peso), que se escreve , e somar essa força à força hidrostática.

Passo 2

Para incluir a gravidade, note que cada pedacinho de fluido de massa Fg ;=;integralV0rho,g,dV, sofre a força . Como é uniforme, basta escrever

Passo 3

A força total sobre o volume vira a soma de hidrostática mais peso:
Ftot =Fhid+Fg =l(-integralV0nabla p,dVr);+;l(integralV0rho,g,dVr) =,-integralV0l(nabla p-rho,gr),dV,

Resposta

Incluindo a gravidade, a expressão fica
boxed Fhid+Fg = -ointA0p,n,dA ;+;integralV0rho,g,dV = -integralV0l(nabla p-rho,gr),dV,

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