Calcule a quantidade de calor que é necessário fornecer a 5 \mathrm{~m}^{3} de ar úmido a 30 { }^{\circ} \mathrm{C} e com uma umidade relativa de 60 \% para aumentar a sua temperatura de 20 { }^{\circ} \mathrm{C}. Determine também a umidade relativa do ar após este aquecimento. Resposta: quantidade de calor que é necessário fornecer =21,46 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} e 122 kJ ; umidade relativa do ar após este aquecimento =21 \%.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Calcular a quantidade de calor necessária para aquecer um volume de ar úmido de 5\\ \mathrm{m}^3 que está inicialmente a 30\\ ^\circ\mathrm{C} com umidade relativa de 60\%, elevando sua temperatura em 20\\ ^\circ\mathrm{C} (ou seja, até 50\\ ^\circ\mathrm{C}).
  • Determinar a umidade relativa do ar após esse aquecimento.
Informações e hipóteses que vamos usar (tudo retirado do enunciado e hipóteses padrão de termodinâmica do ar atmosférico):
  • Volume do ar: V=5\\ \mathrm{m}^3.
  • Temperatura inicial: T_1=30\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Temperatura final: T_2=T_1+20\\ ^\circ\mathrm{C}=50\\ ^\circ\mathrm{C}.
  • Umidade relativa inicial: \phi_1=60\%=0{,}60.
  • Pressão atmosférica padrão (hipótese usual quando não informada): P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}.
  • Constantes usadas:
    • Constante dos gases para o ar seco: R_d=287{,}058\\ \mathrm{J/(kg\\ K)}.
    • Calor específico do ar seco a pressão constante: c_{da}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}.
    • Calor específico do vapor d’água (aprox.): c_v=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}.
    • Relação para razão de mistura (humidity ratio) \omega: \omega = 0{,}622\,\dfrac{e}{P-e}, onde e é a pressão parcial de vapor (em kPa) e P a pressão absoluta (kPa).
  • Fórmulas principais que usaremos:
    • Saturação de vapor (fórmula de Tetens) para e_s(T): e_s(T)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\,T}{T+237{,}3}\right)\\ \text{(kPa)},\quad T\\ \text{em }^\circ\mathrm{C}.
    • Pressão parcial de vapor inicial: e_1=\phi_1 e_s(T_1).
    • Razão de mistura (humidity ratio) inicial: \omega = 0{,}622\displaystyle\frac{e_1}{P-e_1} (em \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco}).
    • Massa de ar seco contida em V: usar a equação dos gases para o ar seco (pressão do ar seco P_d=P-e_1): m_{da}=\frac{P_d\,V}{R_d\,T_{1,\mathrm{K}}},\quad T_{1,\mathrm{K}}=T_1+273{,}15.
    • Calor necessário por unidade de massa de ar seco (processo sem condensação, \omega constante): q_{\text{por kg ar seco}}=(c_{da}+\omega c_v)\,\Delta T,\quad \Delta T=T_2-T_1.
    • Calor total necessário: Q_{\text{total}}=m_{da}\,q_{\text{por kg ar seco}}.
    • Após aquecimento sem adicionar/retirar vapor, pressão parcial de vapor permanece igual a e_1. A nova umidade relativa é: \phi_2=\frac{e_1}{e_s(T_2)}.

Passo 2

Calcular a pressão de saturação e_s e a pressão parcial de vapor inicial e_1 (usando Tetens) para T_1=30\\ ^\circ\mathrm{C}.
Usando a fórmula de Tetens,
e_s(T_1)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 30}{30+237{,}3}\right).
Calculemos o expoente:
\frac{17{,}27\cdot 30}{30+237{,}3}=\frac{518{,}1}{267{,}3}\approx 1{,}937.
Assim
e_s(T_1)\approx 0{,}61078\exp(1{,}937)\approx 0{,}61078\cdot 6{,}941\approx 4{,}243\\ \mathrm{kPa}.
A pressão parcial de vapor inicial é
e_1=\phi_1 e_s(T_1)=0{,}60\cdot 4{,}243\approx 2{,}546\\ \mathrm{kPa}.

Passo 3

Calcular a razão de mistura \omega (kg de vapor por kg de ar seco).
A fórmula é
\omega=0{,}622\frac{e_1}{P-e_1},
com P=101{,}325\\ \mathrm{kPa}. Então
\omega=0{,}622\frac{2{,}546}{101{,}325-2{,}546}=0{,}622\frac{2{,}546}{98{,}779}\approx 0{,}622\cdot 0{,}02577\approx 0{,}01603.
Portanto \omega\approx 0{,}01603\\ \mathrm{kg\\ vapor/kg\\ ar\\ seco} (ou 16{,}03\\ \mathrm{g/kg}).

Passo 4

Calcular a massa de ar seco contida em V=5\\ \mathrm{m}^3.
Usamos a equação dos gases para o ar seco, com pressão do ar seco P_d=P-e_1 (em Pa) e temperatura absoluta T_{1,\mathrm{K}}=30+273{,}15=303{,}15\\ \mathrm{K}:
P_d=101{,}325-2{,}546=98{,}779\\ \mathrm{kPa}=98{,}779\cdot10^{3}\\ \mathrm{Pa}.
A massa de ar seco é
m_{da}=\frac{P_d\,V}{R_d\,T_{1,\mathrm{K}}} =\frac{98{,}779\times10^{3}\cdot 5}{287{,}058\cdot 303{,}15}.
Calculemos numericamente:
\text{denominador}=287{,}058\cdot 303{,}15\approx 87{,}021{,}63\\ \mathrm{(J/(kg))},
\text{numerador}=98{,}779\times 10^{3}\cdot 5=493{,}895\times 10^{3}.
Portanto
m_{da}\approx\frac{493{,}895\times10^{3}}{87{,}021{,}63}\approx 5{,}673\\ \mathrm{kg}.
Arredondando: m_{da}\approx 5{,}67\\ \mathrm{kg} de ar seco no volume de 5\\ \mathrm{m}^3 nas condições iniciais.

Passo 5

Calcular o calor necessário por kg de ar seco para aquecer de 30\\ ^\circ\mathrm{C} a 50\\ ^\circ\mathrm{C}, assumindo que não há troca de massa de vapor (nenhuma condensação nem evaporação adicional).
Fórmula:
q_{\text{por kg}}=(c_{da}+\omega c_v)\,\Delta T,
com \Delta T=20\\ \mathrm{K}, c_{da}=1{,}005\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}, c_v=1{,}86\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)} e \omega\approx 0{,}01603. Então
c_{\text{efetivo}}=c_{da}+\omega c_v =1{,}005 + 0{,}01603\cdot 1{,}86 \approx 1{,}005 + 0{,}0298 \approx 1{,}0348\\ \mathrm{kJ/(kg\\ K)}.
Portanto
q_{\text{por kg}}=1{,}0348\cdot 20 \approx 20{,}70\\ \mathrm{kJ/kg\\ de\\ ar\\ seco}.

Passo 6

Calcular o calor total necessário para o volume V:
Q_{\text{total}}=m_{da}\,q_{\text{por kg}} \approx 5{,}673\\ \mathrm{kg}\times 20{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}\approx 117{,}5\\ \mathrm{kJ}.
(Arredondando convenientemente: Q_{\text{total}}\approx 117{,}4\\ \mathrm{kJ}.)

Passo 7

Calcular a umidade relativa após o aquecimento. Como não houve troca de vapor, a pressão parcial de vapor permanece e_1. A nova pressão de saturação em T_2=50\\ ^\circ\mathrm{C} é:
e_s(T_2)=0{,}61078\exp\!\left(\frac{17{,}27\cdot 50}{50+237{,}3}\right).
Calculemos o expoente:
\frac{17{,}27\cdot 50}{50+237{,}3}=\frac{863{,}5}{287{,}3}\approx 3{,}005,
e_s(T_2)\approx 0{,}61078\exp(3{,}005)\approx 0{,}61078\cdot 20{,}19\approx 12{,}34\\ \mathrm{kPa}.
Assim a nova umidade relativa é
\phi_2=\frac{e_1}{e_s(T_2)}=\frac{2{,}546}{12{,}34}\approx 0{,}2063\approx 20{,}6\%.
Arredondando para uma casa decimal inteira típica: \phi_2\approx 21\%.

Resposta

q_{\text{por kg de ar seco}}\approx 20{,}70\\ \mathrm{kJ/kg}
Q_{\text{total}}\approx 117{,}4\\ \mathrm{kJ}
\phi_2\approx 21\%

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