Vapor d’água saturado a 300 kPa é usado para aquecer propano gasoso à pressão constante. O propano entra no aquecedor a 300 K e 150 kPa com a vazão de 750,0 \mathrm{~kg} / \mathrm{s} e é aquecido até 400 K . O vapor d’água condensa e é liberado como água saturada. Calcule:
c) A taxa de calor a ser fornecida ao propano
d) A vazão mássica de vapor d’água a ser usada

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou listar exatamente o que foi fornecido):
  • Propano entra no aquecedor com vazão mássica \dot{m}_{\text{C}_3\text{H}_8}=750,0\\ \mathrm{kg/s}.
  • Condições de entrada do propano: T_1=300\\ \mathrm{K} e P=150\\ \mathrm{kPa} (aquecimento a pressão constante).
  • Condições de saída do propano: T_2=400\\ \mathrm{K} e P=150\\ \mathrm{kPa}.
  • Vapor d’água saturado a 300\\ \mathrm{kPa} é usado como fluido de aquecimento e, após ceder calor, condensa e sai como água saturada líquida à mesma pressão.
O que a questão pede:
(c) A taxa de calor a ser fornecida ao propano (ou seja, \dot{Q} absorvido pelo propano).
(d) A vazão mássica de vapor d’água necessária para fornecer esse calor (ou seja, \dot{m}_{\text{vapor}}).

Passo 2

Princípio físico e equação que vamos usar (passo-a-passo didático):
  • Para um escoamento em regime estacionário onde não há trabalho de eixo e onde o aquecimento ocorre a pressão constante, a taxa de calor fornecida ao propano é igual à taxa de aumento de entalpia do propano:
\dot{Q}=\dot{m}_{\text{C}_3\text{H}_8}\,\bigl(h_2-h_1\bigr),
onde h é a entalpia específica do propano (em \mathrm{kJ/kg}).
  • Para um gás ideal (ou gás que podemos aproximar por calor específico praticamente constante no intervalo de temperatura considerado) vale a relação aproximada entre variação de entalpia e calor específico a pressão constante:
h_2-h_1=\int_{T_1}^{T_2} c_p(T)\,dT \approx c_{p,\text{médio}}\,(T_2-T_1).é
Aqui c_p é o calor específico a pressão constante (em \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}). Explico: c_p(T) pode variar com a temperatura; se a variação for pequena, usa-se um valor médio c_{p,\text{médio}}é para aproximar a integral — é um procedimento comum em provas quando tabelas detalhadas não são fornecidas.
  • Para a massa de vapor necessária, consideramos que cada quilograma de vapor saturado que condensa libera uma quantidade de calor igual ao calor latente de vaporização (mais a eventual diferença entre entalpia do vapor saturado e do líquido saturado, mas conventionally o calor cedido ao condensar completamente é h_{fg} se o vapor entra como vapor saturado e sai como líquido saturado). Assim:
\dot{m}_{\text{vapor}}=\frac{\dot{Q}}{h_{fg}(P=300\\ \mathrm{kPa})},
onde h_{fg} é o calor latente (entropia do vapor menos do líquido saturado) à pressão de 300\\ \mathrm{kPa}, expressa em \mathrm{kJ/kg}.
Observação importante sobre dados: como não foram fornecidas tabelas no enunciado, vou adotar valores típicos usados em problemas deste tipo:
  • Estimar c_{p,\text{médio}}é do propano no intervalo 300\to400\\ \mathrm{K} a partir de valores tabelados aproximados: vou assumir c_p(300\\ \mathrm{K})\approx1,67\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)} e c_p(400\\ \mathrm{K})\approx1,77\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}. Então tomo
c_{p,\text{médio}}=\frac{1,67+1,77}{2}=1,72\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}.é
  • Valor do calor latente do vapor d’água à pressão de 300\\ \mathrm{kPa} (tabela de vapor saturado): tomo h_{fg}(300\\ \mathrm{kPa})\approx2201{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}. (Este é um valor padrão aproximado de tabela; se na sua prova houver tabela, use o valor da tabela.)
Se a sua prova der tabelas, substitua estes números pelos valores da tabela; aqui estou explícito sobre as aproximações para que você possa reproduzir o raciocínio.

Passo 3

Cálculo da variação de entalpia por quilograma de propano:
  • Primeiro a diferença de temperatura é
T_2-T_1=400-300=100\\ \mathrm{K}.
  • Usando c_{p,\text{médio}}=1,72\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot K)}é,
h_2-h_1 \approx c_{p,\text{médio}}\,(T_2-T_1)=1{,}72\times100=172{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}.é
Explicação curta: isso significa que cada quilograma de propano absorve cerca de 172{,}0\\ \mathrm{kJ} ao ser aquecido de 300 para 400\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Cálculo da taxa de calor total fornecida ao propano:
  • Aplicando \dot{Q}=\dot{m}_{\text{C}_3\text{H}_8}\,(h_2-h_1) com \dot{m}_{\text{C}_3\text{H}_8}=750{,}0\\ \mathrm{kg/s}:
\dot{Q}=750{,}0 \times 172{,}0 =129\,000\\ \mathrm{kJ/s}.
  • Converte-se para unidades usuais de potência:
129\,000\\ \mathrm{kJ/s}=129\,000\\ \mathrm{kW}=129{,}0\\ \mathrm{MW}.
Interpretação: o propano precisa de 129{,}0\\ \mathrm{MW} de calor para aquecer na vazão dada.

Passo 5

Cálculo da vazão mássica de vapor necessária:
  • Considerando que cada quilograma de vapor cedendo calor ao condensar fornece aproximadamente h_{fg}(300\\ \mathrm{kPa})=2201{,}0\\ \mathrm{kJ/kg},
\dot{m}_{\text{vapor}}=\frac{\dot{Q}}{h_{fg}}=\frac{129\,000\\ \mathrm{kJ/s}}{2201{,}0\\ \mathrm{kJ/kg}}.
  • Fazendo a divisão:
\dot{m}_{\text{vapor}}\approx58{,}6\\ \mathrm{kg/s}.
Interpretação: são necessários cerca de 58{,}6\\ \mathrm{kg/s} de vapor saturado a 300\\ \mathrm{kPa} para fornecer os 129{,}0\\ \mathrm{MW} necessários.

Resposta

(c) \dot{Q}=129{,}0\\ \mathrm{MW}\n
(d) \dot{m}_{\text{vapor}}\approx58{,}6\\ \mathrm{kg/s}

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