A equação -hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2+V psi(x)=E psi(x) é a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão e a equação dependente do tempo é dada por -hbar^22 m d^2 Psi(x, t)d x^2+V(x) Psi(x, t)= i hbar d Psi(x, t)d t. Se psi(x) for uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo com energia E, mostre que a função de onda Psi(x, t)=psi(x) e^-i omega t é uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo quando omega for escolhido de modo apropriado. Mostre que |Psi(x, t)|^2=|psi(x)|^2 para a função de onda dependente do tempo indicada anteriormente.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas equações de Schrödinger: uma que não depende do tempo e outra que depende. O conteúdo da matéria é a mecânica quântica, especificamente as equações de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar entender a relação entre as soluções das equações dependente e independente do tempo e trabalhar com funções de onda complexas.

Passo 2

Sabemos que psi(x) é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
Queremos mostrar que a função de onda dependente do tempo dada por Psi(x, t) = psi(x) e^-i omega t também satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, se escolhermos omega de forma apropriada.

Passo 3

Vamos primeiro calcular a derivada parcial de Psi(x, t) em relação ao tempo t:
partial Psi(x, t)partial t = partialpartial t ( psi(x) e^-i omega t ) = -i omega psi(x) e^-i omega t = -i omega Psi(x, t)

Passo 4

Agora, vamos substituir Psi(x, t) e suas derivadas na equação de Schrödinger dependente do tempo:
-hbar^22 m d^2 Psi(x, t)d x^2 + V(x) Psi(x, t) = i hbar partial Psi(x, t)partial t
Substituindo a derivada em x e a derivada em t que calculamos:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2 e^-i omega t + V(x) psi(x) e^-i omega t = i hbar (-i omega) psi(x) e^-i omega t

Passo 5

Simplificando o lado direito da equação:
i hbar (-i omega) = hbar omega
Então, a equação fica:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2 e^-i omega t + V(x) psi(x) e^-i omega t = hbar omega psi(x) e^-i omega t

Passo 6

Podemos dividir ambos os lados por e^-i omega t, já que ele não é zero:
-hbar^22 m d^2 psi(x)d x^2 + V(x) psi(x) = hbar omega psi(x)

Passo 7

Observamos que a equação acima é exatamente a equação de Schrödinger independente do tempo, onde o lado esquerdo é igual a E psi(x). Portanto, temos:
hbar omega psi(x) = E psi(x)
Isso implica que hbar omega = E, ou seja, omega = Ehbar.

Passo 8

Assim, ao escolher omega = Ehbar, a função Psi(x, t) = psi(x) e^-i omega t satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.

Passo 9

Agora, vamos mostrar que a densidade de probabilidade é independente do tempo. A densidade de probabilidade é dada por:
|Psi(x, t)|^2 = Psi(x, t) Psi^*(x, t)
Substituindo Psi(x, t) = psi(x) e^-i omega t:
|Psi(x, t)|^2 = psi(x) e^-i omega t cdot psi^*(x) e^i omega t = psi(x) psi^*(x) = |psi(x)|^2

Resposta

Mostramos que, escolhendo omega = Ehbar, a função de onda dependente do tempo Psi(x, t) = psi(x) e^-i omega t satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Além disso, a densidade de probabilidade |Psi(x, t)|^2 permanece igual a |psi(x)|^2, sendo independente do tempo.

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