A equação
é a equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão e a equação dependente do tempo é dada por
. Se
for uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo com energia
, mostre que a função de onda
é uma solução da equação de Schrödinger dependente do tempo quando
for escolhido de modo apropriado. Mostre que
para a função de onda dependente do tempo indicada anteriormente.
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos duas equações de Schrödinger: uma que não depende do tempo e outra que depende. O conteúdo da matéria é a mecânica quântica, especificamente as equações de Schrödinger. Para resolver, vamos precisar entender a relação entre as soluções das equações dependente e independente do tempo e trabalhar com funções de onda complexas.
Passo 2
Sabemos que
é uma solução da equação de Schrödinger independente do tempo:
Queremos mostrar que a função de onda dependente do tempo dada por
também satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo, se escolhermos
de forma apropriada.
Passo 3
Vamos primeiro calcular a derivada parcial de
em relação ao tempo
:
Passo 4
Agora, vamos substituir
e suas derivadas na equação de Schrödinger dependente do tempo:
Substituindo a derivada em
e a derivada em
que calculamos:
Passo 5
Simplificando o lado direito da equação:
Então, a equação fica:
Passo 6
Podemos dividir ambos os lados por
, já que ele não é zero:
Passo 7
Observamos que a equação acima é exatamente a equação de Schrödinger independente do tempo, onde o lado esquerdo é igual a
. Portanto, temos:
Isso implica que
, ou seja,
.
Passo 8
Assim, ao escolher
, a função
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo.
Passo 9
Agora, vamos mostrar que a densidade de probabilidade é independente do tempo. A densidade de probabilidade é dada por:
Substituindo
:
Resposta
Mostramos que, escolhendo
, a função de onda dependente do tempo
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo. Além disso, a densidade de probabilidade
permanece igual a
, sendo independente do tempo.