A equação horária da posição do
é dada por:
, onde
é a amplitude,
a frequência angular e
a constante de fase. Mostre que as constantes
e
, para um dado MHS, são determinadas pelas condições iniciais
e
, ou seja, mostre que:
e
, onde
e
são, respectivamente, a posição e velocidade no instante
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação que descreve a posição $ X(t) $ de um objeto em Movimento Harmônico Simples (MHS):
Aqui:
- $ X_{M} $ é a amplitude do movimento, ou seja, a máxima distância que o objeto alcança em relação à posição de equilíbrio.
- $ \omega $ é a frequência angular, relacionada à rapidez com que o objeto oscila.
- $ \varphi $ é a fase inicial, que determina a posição e o sentido do movimento no instante $ t = 0 $.
A questão quer que mostremos como encontrar $ X_{M} $ e $ \varphi $ usando as condições iniciais:
- $ X(0) $: a posição do objeto no instante inicial $ t = 0 $.
- $ V(0) $: a velocidade do objeto no instante inicial $ t = 0 $.
Vamos precisar usar a relação entre posição e velocidade no MHS para achar essas constantes.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a expressão da velocidade $ V(t) $ derivando a posição $ X(t) $ em relação ao tempo. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade.
Usando a regra da derivada da função cosseno:
Passo 3
Agora, aplicamos as condições iniciais $ t = 0 $ nas equações de posição e velocidade.
Para a posição:
Para a velocidade:
Passo 4
Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ X_{M} $ e $ \varphi $):
- $ X(0) = X_{M} \cos(\varphi) $
- $ V(0) = -X_{M} \omega \sin(\varphi) $
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar $ X_{M} $ e $ \varphi $.
Passo 5
Primeiro, vamos isolar $ X_{M} $ em ambas as equações.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Agora, igualamos as duas expressões para $ X_{M} $:
Multiplicando ambos os lados por $ \cos(\varphi) \sin(\varphi) $:
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\varphi) $:
Isolando $ \tan(\varphi) $:
Então, a fase inicial $ \varphi $ é:
Passo 6
Agora, vamos encontrar a amplitude $ X_{M} $. Voltando à primeira equação:
Sabemos que:
Usando as expressões para $ \cos(\varphi) $ e $ \sin(\varphi) $ em termos das condições iniciais, podemos derivar:
Portanto:
Resposta
As constantes $ X_{M} $ e $ \varphi $ são determinadas pelas condições iniciais $ X(0) $ e $ V(0) $ da seguinte forma: