A equação horária da posição do M H S é dada por: X(t)=XM cos (omega t+varphi), onde XM é a amplitude, omega a frequência angular e varphi a constante de fase. Mostre que as constantes XM e varphi, para um dado MHS, são determinadas pelas condições iniciais X(0) e V(0), ou seja, mostre que: XM=raizX(0)^2+V(0)^2omega^2 e varphi=tan ^-1(-V(0)omega X(0)), onde X(0) e V(0) são, respectivamente, a posição e velocidade no instante t=0.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a equação que descreve a posição $ X(t) $ de um objeto em Movimento Harmônico Simples (MHS):
X(t)
Aqui:
  • $ X_{M} $ é a amplitude do movimento, ou seja, a máxima distância que o objeto alcança em relação à posição de equilíbrio.
  • $ \omega $ é a frequência angular, relacionada à rapidez com que o objeto oscila.
  • $ \varphi $ é a fase inicial, que determina a posição e o sentido do movimento no instante $ t = 0 $.
A questão quer que mostremos como encontrar $ X_{M} $ e $ \varphi $ usando as condições iniciais:
  • $ X(0) $: a posição do objeto no instante inicial $ t = 0 $.
  • $ V(0) $: a velocidade do objeto no instante inicial $ t = 0 $.
Vamos precisar usar a relação entre posição e velocidade no MHS para achar essas constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a expressão da velocidade $ V(t) $ derivando a posição $ X(t) $ em relação ao tempo. A derivada nos dá a taxa de variação da posição, ou seja, a velocidade.
V(t)
Usando a regra da derivada da função cosseno:
X(t)

Passo 3

Agora, aplicamos as condições iniciais $ t = 0 $ nas equações de posição e velocidade.
Para a posição:
t = 0
X(0) = XM cos(omega cdot 0 + varphi)
Para a velocidade:
X(0) = XM cos(varphi)
V(0) = -XM omega sin(omega cdot 0 + varphi)

Passo 4

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas ($ X_{M} $ e $ \varphi $):
  1. $ X(0) = X_{M} \cos(\varphi) $
  2. $ V(0) = -X_{M} \omega \sin(\varphi) $
Nosso objetivo é resolver esse sistema para encontrar $ X_{M} $ e $ \varphi $.

Passo 5

Primeiro, vamos isolar $ X_{M} $ em ambas as equações.
Da primeira equação:
XM
Da segunda equação:
XM = X(0)cos(varphi)
Agora, igualamos as duas expressões para $ X_{M} $:
XM = -V(0)omega sin(varphi)
Multiplicando ambos os lados por $ \cos(\varphi) \sin(\varphi) $:
XM
Dividindo ambos os lados por $ \cos(\varphi) $:
X(0)cos(varphi) = -V(0)omega sin(varphi)
Isolando $ \tan(\varphi) $:
cos(varphi) sin(varphi)
Então, a fase inicial $ \varphi $ é:
X(0) sin(varphi) = -V(0)omega cos(varphi)

Passo 6

Agora, vamos encontrar a amplitude $ X_{M} $. Voltando à primeira equação:
XM
Sabemos que:
XM = X(0)cos(varphi)
Usando as expressões para $ \cos(\varphi) $ e $ \sin(\varphi) $ em termos das condições iniciais, podemos derivar:
cos^2(varphi) + sin^2(varphi) = 1
Portanto:
cos(varphi)

Resposta

As constantes $ X_{M} $ e $ \varphi $ são determinadas pelas condições iniciais $ X(0) $ e $ V(0) $ da seguinte forma:
XM
varphi

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