A equação de Laplace em coordenadas polares é
(a) Mostre, usando a regra da cadeia que a função
satisfaz esta equação, se
.
(b) Verifique que
, sua parte real
e sua parte imaginária
, todas satisfazem a equação de Laplace em forma polar.
(b) Verifique que
Passo 1
O enunciado dá a equação de Laplace em coordenadas polares
e pede duas coisas:
(a) Mostrar, usando a regra da cadeia, que a função
satisfaz a equação acima (ou seja, que a forma polar da Laplaciana aparece corretamente) quando se assume
.
(b) Verificar diretamente para
e para suas partes real e imaginária, isto é, para
e
, que cada uma satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A variável complexa pode ser escrita como
. - As relações entre coordenadas são
- Devemos usar a regra da cadeia para passar derivadas cartesianas
para derivadas polares . - Em (b) usaremos explicitamente
ao derivar em relação a .
Passo 2
Preparação: lembrando a regra da cadeia para funções
vistas como
.
Explicação rápida da regra da cadeia (passo didático): se
é função de
e
, e
e
dependem de
e
, então a derivada parcial de
em relação a
é obtida somando as contribuições de
e
:
onde
avaliado em
, e
, etc. Idem para
.
Vamos calcular as derivadas de
e
em função de
e
. Usando
e
:
Também teremos segundas derivadas necessárias:
(Explicação:
não depende de
, por isso
;
vem de derivar
em
.)
Passo 3
Aplicando a regra da cadeia para as primeiras derivadas de
:
Comentário didático: aqui
e
são derivadas parciais de
em relação a
e
. As fórmulas acima dizem como
muda quando variamos
ou
, somando as mudanças de
e
ponderadas pelas derivadas de
e
.
Passo 4
Agora calculamos as segundas derivadas necessárias, usando novamente a regra da cadeia e as derivadas de
.
Primeiro
: derivando
com relação a
, lembrando que
e
são constantes em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia a
e
:
Como
(hipótese de suavidade), juntando tudo:
Explicação didática: isto é a expansão usual pela cadeia: segundas derivadas em
combinam as segundas derivadas em
multiplicadas pelos quadrados e produtos das derivadas de
em relação a
.
Passo 5
Agora
: partimos de
e derivamos com relação a
. Usamos que as derivadas de
e
em relação a
também se obtêm pela cadeia:
Primeiro, escrevemos de forma organizada:
Derivando:
Calculamos peças:
E, aplicando cadeia nas derivadas de
e
em relação a
:
Substituindo tudo em
e simplificando (usando
):
Agora substituímos
e
:
Observação didática: o termo linear em
aparece porque
e
não são nulos; em contraste, em
esses termos foram nulos.
Passo 6
Agora combinamos as expressões para obter a forma polar da Laplaciana.
Escrevemos
Lembre que
. Então o termo
é simplesmente
.
Somando
obtemos (substituindo as expressões de
e da parte entre parênteses acima):
Conclusão intermediária (didática): A expressão polar da Laplaciana coincide com a soma das derivadas segundas cartesianas:
Portanto, se
(i.e. se a Laplaciana em coordenadas cartesianas é zero), então a Laplaciana em coordenadas polares também é zero.
Passo 7
Interpretação para funções analíticas (ligando com
e a parte (b)):
Se
for uma função holomorfa de
, então escrevendo
com
reais, as equações de Cauchy–Riemann valem:
Diferenciando essas equações e somando, obtemos por exemplo
ou seja, a parte real
é harmônica; idem para
. Portanto para funções holomorfas as componentes reais e imaginárias satisfazem
e
. Pela igualdade do Passo 6, elas também satisfazem a forma polar
Comentário: o fato
entra no cálculo explícito de derivadas quando lidamos com exponenciais complexas
ou potências com fator
(ver parte (b) a seguir).
Passo 8
Parte (b) — cálculo direto para
.
Primeiro, calculemos derivadas de
em
e
. Como
,
Derivando em
:
onde usamos explicitamente
, isto é,
.
Agora substituímos na expressão polar:
Portanto
satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares.
Passo 9
Parte (b) — verificar para as partes real e imaginária.
Escrevemos
. Assim a parte real é
e a parte imaginária é
.
Cálculo direto para
:
Substituindo na forma polar:
Cálculo direto para
:
Substituindo:
Conclusão: tanto
quanto
satisfazem a equação de Laplace em coordenadas polares.
Resposta
(a)
, logo se
então
.
(b)
satisfaz
. \
satisfaz
. \
satisfaz
.