A equação de Laplace em coordenadas polares é
f_{r r}+\frac{f_{r}}{r}+\frac{f_{\theta \theta}}{r^{2}}=0
(a) Mostre, usando a regra da cadeia que a função f\left(r e^{i \theta}\right) satisfaz esta equação, se i^{2}=-1.
(b) Verifique que f=r^{2} e^{2 i \theta}, sua parte real r^{2} \cos 2 \theta e sua parte imaginária r^{2} \sin 2 \theta, todas satisfazem a equação de Laplace em forma polar.

Passo 1

O enunciado dá a equação de Laplace em coordenadas polares
f_{r r}+\frac{f_{r}}{r}+\frac{f_{\theta \theta}}{r^{2}}=0
e pede duas coisas:
(a) Mostrar, usando a regra da cadeia, que a função f(re^{i\theta}) satisfaz a equação acima (ou seja, que a forma polar da Laplaciana aparece corretamente) quando se assume i^{2}=-1.
(b) Verificar diretamente para f=r^{2}e^{2i\theta} e para suas partes real e imaginária, isto é, para r^{2}\cos2\theta e r^{2}\sin2\theta, que cada uma satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A variável complexa pode ser escrita como z=re^{i\theta}=x+iy.
  • As relações entre coordenadas são \,x=r\cos\theta,\; y=r\sin\theta.
  • Devemos usar a regra da cadeia para passar derivadas cartesianas (x,y) para derivadas polares (r,\theta).
  • Em (b) usaremos explicitamente i^{2}=-1 ao derivar em relação a \theta.

Passo 2

Preparação: lembrando a regra da cadeia para funções f(x,y) vistas como f(r,\theta)=f(x(r,\theta),y(r,\theta)).
Explicação rápida da regra da cadeia (passo didático): se f é função de x e y, e x e y dependem de r e \theta, então a derivada parcial de f em relação a r é obtida somando as contribuições de x e y:
f_{r}=f_{x}\,x_{r}+f_{y}\,y_{r},
onde f_{x}=\partial f/\partial x avaliado em (x(r,\theta),y(r,\theta)), e x_{r}=\partial x/\partial r, etc. Idem para f_{\theta}.
Vamos calcular as derivadas de x e y em função de r e \theta. Usando x=r\cos\theta e y=r\sin\theta:
x_{r}=\cos\theta,\qquad y_{r}=\sin\theta,
x_{\theta}=-r\sin\theta,\qquad y_{\theta}=r\cos\theta.
Também teremos segundas derivadas necessárias:
x_{rr}=0,\qquad y_{rr}=0,
x_{\theta\theta}=-r\cos\theta,\qquad y_{\theta\theta}=-r\sin\theta.
(Explicação: x_{r}=\cos\theta não depende de r, por isso x_{rr}=0; x_{\theta\theta} vem de derivar -r\sin\theta em \theta.)

Passo 3

Aplicando a regra da cadeia para as primeiras derivadas de f:
f_{r}=f_{x}\cos\theta+f_{y}\sin\theta,
f_{\theta}=f_{x}(-r\sin\theta)+f_{y}(r\cos\theta)= -r\sin\theta\,f_x + r\cos\theta\,f_y.
Comentário didático: aqui f_x e f_y são derivadas parciais de f em relação a x e y. As fórmulas acima dizem como f muda quando variamos r ou \theta, somando as mudanças de x e y ponderadas pelas derivadas de x e y.

Passo 4

Agora calculamos as segundas derivadas necessárias, usando novamente a regra da cadeia e as derivadas de x,y.
Primeiro f_{rr}: derivando f_{r}=f_{x}\cos\theta+f_{y}\sin\theta com relação a r, lembrando que \cos\theta e \sin\theta são constantes em relação a r:
f_{rr} = (f_x)_{r}\cos\theta + (f_y)_{r}\sin\theta.
Aplicando a regra da cadeia a (f_x)_{r} e (f_y)_{r}:
(f_x)_{r}=f_{xx}x_{r}+f_{xy}y_{r}=f_{xx}\cos\theta+f_{xy}\sin\theta,
(f_y)_{r}=f_{yx}x_{r}+f_{yy}y_{r}=f_{yx}\cos\theta+f_{yy}\sin\theta.
Como f_{xy}=f_{yx} (hipótese de suavidade), juntando tudo:
f_{rr} = f_{xx}\cos^{2}\theta + 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\sin^{2}\theta.
Explicação didática: isto é a expansão usual pela cadeia: segundas derivadas em r combinam as segundas derivadas em x,y multiplicadas pelos quadrados e produtos das derivadas de x,y em relação a r.

Passo 5

Agora f_{\theta\theta}: partimos de f_{\theta}=-r\sin\theta\,f_x + r\cos\theta\,f_y e derivamos com relação a \theta. Usamos que as derivadas de f_x e f_y em relação a \theta também se obtêm pela cadeia:
Primeiro, escrevemos de forma organizada:
f_{\theta}=x_{\theta}f_x + y_{\theta}f_y,\quad\text{com }x_{\theta}=-r\sin\theta,\;y_{\theta}=r\cos\theta.
Derivando:
f_{\theta\theta} = (x_{\theta})_{\theta}f_x + x_{\theta}(f_x)_{\theta} + (y_{\theta})_{\theta}f_y + y_{\theta}(f_y)_{\theta}.
Calculamos peças:
(x_{\theta})_{\theta}=x_{\theta\theta}=-r\cos\theta,\qquad (y_{\theta})_{\theta}=y_{\theta\theta}=-r\sin\theta.
E, aplicando cadeia nas derivadas de f_x e f_y em relação a \theta:
(f_x)_{\theta}=f_{xx}x_{\theta}+f_{xy}y_{\theta},\qquad (f_y)_{\theta}=f_{yx}x_{\theta}+f_{yy}y_{\theta}.
Substituindo tudo em f_{\theta\theta} e simplificando (usando f_{xy}=f_{yx}):
\begin{aligned} f_{\theta\theta} &= -r\cos\theta\,f_x + x_{\theta}\big(f_{xx}x_{\theta}+f_{xy}y_{\theta}\big) -r\sin\theta\,f_y + y_{\theta}\big(f_{xy}x_{\theta}+f_{yy}y_{\theta}\big)\\\ &= -r\cos\theta\,f_x - r\sin\theta\,f_y + f_{xx}x_{\theta}^{2} + 2f_{xy}x_{\theta}y_{\theta} + f_{yy}y_{\theta}^{2}. \end{aligned}
Agora substituímos x_{\theta}=-r\sin\theta e y_{\theta}=r\cos\theta:
f_{\theta\theta} = -r\cos\theta\,f_x - r\sin\theta\,f_y + r^{2}\big(f_{xx}\sin^{2}\theta - 2f_{xy}\sin\theta\cos\theta + f_{yy}\cos^{2}\theta\big).
Observação didática: o termo linear em f_x,f_y aparece porque x_{\theta\theta} e y_{\theta\theta} não são nulos; em contraste, em r esses termos foram nulos.

Passo 6

Agora combinamos as expressões para obter a forma polar da Laplaciana.
Escrevemos
\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta} = -\frac{1}{r}\big(\cos\theta\,f_x+\sin\theta\,f_y\big) + \big(f_{xx}\sin^{2}\theta - 2f_{xy}\sin\theta\cos\theta + f_{yy}\cos^{2}\theta\big).
Lembre que f_{r}=f_{x}\cos\theta+f_{y}\sin\theta. Então o termo -\frac{1}{r}(\cos\theta f_x+\sin\theta f_y) é simplesmente -\frac{1}{r}f_{r}.
Somando f_{rr}+\frac{1}{r}f_{r}+\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta} obtemos (substituindo as expressões de f_{rr} e da parte entre parênteses acima):
\begin{aligned} f_{rr}+\frac{1}{r}f_{r}+\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta} &= \big(f_{xx}\cos^{2}\theta + 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta + f_{yy}\sin^{2}\theta\big) + \frac{1}{r}f_{r}\\\ &\quad -\frac{1}{r}f_{r} + \big(f_{xx}\sin^{2}\theta - 2f_{xy}\sin\theta\cos\theta + f_{yy}\cos^{2}\theta\big)\\\ &= f_{xx}(\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta) + f_{yy}(\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta)\\\ &\quad + 2f_{xy}\cos\theta\sin\theta - 2f_{xy}\sin\theta\cos\theta\\\ &= f_{xx}+f_{yy}. \end{aligned}
Conclusão intermediária (didática): A expressão polar da Laplaciana coincide com a soma das derivadas segundas cartesianas:
\boxed{\;f_{rr}+\frac{1}{r}f_{r}+\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta}=f_{xx}+f_{yy}\; }.
Portanto, se f_{xx}+f_{yy}=0 (i.e. se a Laplaciana em coordenadas cartesianas é zero), então a Laplaciana em coordenadas polares também é zero.

Passo 7

Interpretação para funções analíticas (ligando com i^{2}=-1 e a parte (b)):
Se f for uma função holomorfa de z=x+iy, então escrevendo f=u+iv com u,v reais, as equações de Cauchy–Riemann valem:
u_x = v_y,\qquad u_y = -v_x.
Diferenciando essas equações e somando, obtemos por exemplo
u_{xx}+u_{yy}=0,
ou seja, a parte real u é harmônica; idem para v. Portanto para funções holomorfas as componentes reais e imaginárias satisfazem u_{xx}+u_{yy}=0 e v_{xx}+v_{yy}=0. Pela igualdade do Passo 6, elas também satisfazem a forma polar
u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0,\qquad v_{rr}+\frac{1}{r}v_{r}+\frac{1}{r^{2}}v_{\theta\theta}=0.
Comentário: o fato i^{2}=-1 entra no cálculo explícito de derivadas quando lidamos com exponenciais complexas e^{i\theta} ou potências com fator i (ver parte (b) a seguir).

Passo 8

Parte (b) — cálculo direto para f=r^{2}e^{2i\theta}.
Primeiro, calculemos derivadas de f em r e \theta. Como f(r,\theta)=r^{2}e^{2i\theta},
f_{r}=2r e^{2i\theta},\qquad f_{rr}=2 e^{2i\theta}.
Derivando em \theta:
f_{\theta}=2i r^{2} e^{2i\theta},\qquad f_{\theta\theta}=(2i)^{2} r^{2} e^{2i\theta}= -4 r^{2} e^{2i\theta},
onde usamos explicitamente (2i)^{2}=4i^{2}=4(-1)=-4, isto é, i^{2}=-1.
Agora substituímos na expressão polar:
\begin{aligned} f_{rr}+\frac{1}{r}f_{r}+\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta} &= 2 e^{2i\theta} + \frac{1}{r}(2r e^{2i\theta}) + \frac{1}{r^{2}}(-4 r^{2} e^{2i\theta})\\\ &= 2 e^{2i\theta} + 2 e^{2i\theta} - 4 e^{2i\theta} = 0. \end{aligned}
Portanto f=r^{2}e^{2i\theta} satisfaz a equação de Laplace em coordenadas polares.

Passo 9

Parte (b) — verificar para as partes real e imaginária.
Escrevemos f=r^{2}e^{2i\theta}=r^{2}(\cos2\theta + i\sin2\theta). Assim a parte real é u(r,\theta)=r^{2}\cos2\theta e a parte imaginária é v(r,\theta)=r^{2}\sin2\theta.
Cálculo direto para u:
u_{r}=2r\cos2\theta,\qquad u_{rr}=2\cos2\theta,
u_{\theta}=-2r^{2}\sin2\theta,\qquad u_{\theta\theta}=-4r^{2}\cos2\theta.
Substituindo na forma polar:
u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta} =2\cos2\theta + \frac{1}{r}(2r\cos2\theta) + \frac{1}{r^{2}}(-4r^{2}\cos2\theta)=0.
Cálculo direto para v:
v_{r}=2r\sin2\theta,\qquad v_{rr}=2\sin2\theta,
v_{\theta}=2r^{2}\cos2\theta,\qquad v_{\theta\theta}=-4r^{2}\sin2\theta.
Substituindo:
v_{rr}+\frac{1}{r}v_{r}+\frac{1}{r^{2}}v_{\theta\theta} =2\sin2\theta + \frac{1}{r}(2r\sin2\theta) + \frac{1}{r^{2}}(-4r^{2}\sin2\theta)=0.
Conclusão: tanto u=r^{2}\cos2\theta quanto v=r^{2}\sin2\theta satisfazem a equação de Laplace em coordenadas polares.

Resposta

(a) \displaystyle f_{rr}+\frac{1}{r}f_{r}+\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta}=f_{xx}+f_{yy}, logo se f_{xx}+f_{yy}=0 então \displaystyle f_{rr}+\frac{1}{r}f_{r}+\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta}=0.
(b) \displaystyle f=r^{2}e^{2i\theta} satisfaz \displaystyle f_{rr}+\frac{1}{r}f_{r}+\frac{1}{r^{2}}f_{\theta\theta}=0. \
\displaystyle r^{2}\cos2\theta satisfaz \displaystyle u_{rr}+\frac{1}{r}u_{r}+\frac{1}{r^{2}}u_{\theta\theta}=0. \
\displaystyle r^{2}\sin2\theta satisfaz \displaystyle v_{rr}+\frac{1}{r}v_{r}+\frac{1}{r^{2}}v_{\theta\theta}=0.

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