Derive com respeito de t a função \quad(g(x(t), y(t)))^{3}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a t da função (g(x(t), y(t)))^{3}.
Informações dadas/assumidas:
  • g é uma função de duas variáveis, ou seja, g=g(x,y).
  • x e y são funções de t: x=x(t) e y=y(t).
  • Queremos \dfrac{d}{dt}\bigl((g(x(t),y(t)))^{3}\bigr).
  • Vou usar a notação g_x para \dfrac{\partial g}{\partial x} e g_y para \dfrac{\partial g}{\partial y}.
  • Denoto por x'(t) e y'(t) as derivadas de x e y em relação a t.

Passo 2

Começamos identificando uma composição de funções: a função externa é f(u)=u^{3} e a função interna é u(t)=g(x(t),y(t)). A regra da cadeia para uma composição unidimensional diz:
\frac{d}{dt}f(u(t))=f'(u(t))\cdot u'(t).
Aplicando isso com f(u)=u^{3} (cuja derivada é f'(u)=3u^{2}) obtemos:
\frac{d}{dt}\bigl((g(x(t),y(t)))^{3}\bigr)=3\bigl(g(x(t),y(t))\bigr)^{2}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(g(x(t),y(t))\bigr).
Aqui paramos para entender: já “derivámos” a parte cúbica; agora falta derivar a parte interna g(x(t),y(t)).

Passo 3

Agora precisamos calcular \dfrac{d}{dt}\bigl(g(x(t),y(t))\bigr). Para isso usamos a regra da cadeia no caso de funções de várias variáveis: a variação total de g quando x e y mudam é dada por
\frac{d}{dt}g(x(t),y(t))=g_x(x(t),y(t))\cdot x'(t)+g_y(x(t),y(t))\cdot y'(t).
Explicando bem devagar:
  • g_x(x,y)=\dfrac{\partial g}{\partial x}(x,y) é a taxa de variação de g em relação a x, mantendo y fixo.
  • g_y(x,y)=\dfrac{\partial g}{\partial y}(x,y) é a taxa de variação de g em relação a y, mantendo x fixo.
  • Se x varia com velocidade x'(t) e y varia com velocidade y'(t), então a contribuição total para a variação de g é a soma ponderada g_x\cdot x'(t)+g_y\cdot y'(t).
    Essa fórmula pode ser visto também a partir da aproximação diferencial
\Delta g \approx g_x\,\Delta x + g_y\,\Delta y,
dividindo por \Delta t e passando ao limite.

Passo 4

Substituindo o resultado do Passo 3 na expressão obtida no Passo 2, ficamos com a forma final da derivada:
\frac{d}{dt}\bigl((g(x(t),y(t)))^{3}\bigr)=3\bigl(g(x(t),y(t))\bigr)^{2}\Bigl(g_x(x(t),y(t))\,x'(t)+g_y(x(t),y(t))\,y'(t)\Bigr).
Se quiser ver um exemplo concreto para fixar: suponha g(x,y)=x+y, x(t)=t^{2} e y(t)=\sin t. Então g(x(t),y(t))=t^{2}+\sin t, g_x=1, g_y=1, x'(t)=2t, y'(t)=\cos t. Aplicando a fórmula:
\frac{d}{dt}\bigl((t^{2}+\sin t)^{3}\bigr)=3(t^{2}+\sin t)^{2}\bigl(1\cdot 2t + 1\cdot \cos t\bigr).
Isso mostra como usar a fórmula na prática — você só precisa calcular as derivadas parciais de g e as derivadas de x(t) e y(t).

Resposta

\frac{d}{dt}\bigl((g(x(t),y(t)))^{3}\bigr)=3\bigl(g(x(t),y(t))\bigr)^{2}\Bigl(g_x(x(t),y(t))\,x'(t)+g_y(x(t),y(t))\,y'(t)\Bigr)

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