Derive com respeito de
a função
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a derivada em relação a
da função
.
Informações dadas/assumidas:
-
é uma função de duas variáveis, ou seja, . -
e são funções de : e . - Queremos
. - Vou usar a notação
para e para . - Denoto por
e as derivadas de e em relação a .
Passo 2
Começamos identificando uma composição de funções: a função externa é
e a função interna é
. A regra da cadeia para uma composição unidimensional diz:
Aplicando isso com
(cuja derivada é
) obtemos:
Aqui paramos para entender: já “derivámos” a parte cúbica; agora falta derivar a parte interna
.
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Para isso usamos a regra da cadeia no caso de funções de várias variáveis: a variação total de
quando
e
mudam é dada por
Explicando bem devagar:
-
é a taxa de variação de em relação a , mantendo fixo. -
é a taxa de variação de em relação a , mantendo fixo. - Se
varia com velocidade e varia com velocidade , então a contribuição total para a variação de é a soma ponderada .
Essa fórmula pode ser visto também a partir da aproximação diferencial
dividindo por
e passando ao limite.
Passo 4
Substituindo o resultado do Passo 3 na expressão obtida no Passo 2, ficamos com a forma final da derivada:
Se quiser ver um exemplo concreto para fixar: suponha
,
e
. Então
,
,
,
,
. Aplicando a fórmula:
Isso mostra como usar a fórmula na prática — você só precisa calcular as derivadas parciais de
e as derivadas de
e
.