Nos problemas seguintes encontrar d f / d t usando regra da cadeia
f=x^{2}+y^{2}, x=t, y=t^{2}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar \dfrac{d f}{d t} usando a regra da cadeia, com as informações:
f = x^{2} + y^{2},\qquad x = t,\qquad y = t^{2}.
Pergunta explícita: calcular a derivada de f em relação a t levando em conta que x e y dependem de t.

Passo 2

A ideia-chave (regra da cadeia multivariada): se f depende de x e y, que por sua vez dependem de t, então a derivada total de f em relação a t é
\dfrac{d f}{d t} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\,\dfrac{d x}{d t} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\,\dfrac{d y}{d t}.
Explicando: \dfrac{\partial f}{\partial x} é a taxa de variação de f quando só x muda (mantendo y fixo); \dfrac{d x}{d t} é a velocidade com que x muda em função de t. Multiplicando-os temos a contribuição de x(t) para a variação total de f. A mesma coisa vale para o termo com y. Somando dá a variação total de f ao variar t.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de f. Como f(x,y)=x^{2}+y^{2}, derivando em relação a x e a y (tratando a outra variável como constante):
\dfrac{\partial f}{\partial x}=2x, \qquad \dfrac{\partial f}{\partial y}=2y.
Aqui eu usei a regra de potência: a derivada de u^{2} em relação a u é 2u.

Passo 4

Calcular \dfrac{d x}{d t} e \dfrac{d y}{d t} usando as dependências dadas x=t e y=t^{2}:
\dfrac{d x}{d t}=1, \qquad \dfrac{d y}{d t}=2t.
Explicação: a derivada de t em relação a t é 1; a derivada de t^{2} é 2t (regra de potência).

Passo 5

Substituir na fórmula da regra da cadeia:
\dfrac{d f}{d t} = \left(2x\right)\left(\dfrac{d x}{d t}\right) + \left(2y\right)\left(\dfrac{d y}{d t}\right).
Agora substituir x=t, y=t^{2}, \dfrac{d x}{d t}=1 e \dfrac{d y}{d t}=2t:
\dfrac{d f}{d t} = 2t\cdot 1 + 2\cdot t^{2}\cdot (2t).
Fazendo as multiplicações:
\dfrac{d f}{d t} = 2t + 4t^{3}.
Podemos fatorar se quiser:
\dfrac{d f}{d t} = 2t\,(1 + 2t^{2}).

Passo 6

Verificação alternativa (opcional, para treinar): primeiro substituo x e y em f,
f(t) = (t)^{2} + (t^{2})^{2} = t^{2} + t^{4},
depois derivo em relação a t:
\dfrac{d f}{d t} = 2t + 4t^{3},
que coincide com o resultado anterior. Isso mostra que tanto aplicar a regra da cadeia quanto substituir antes e derivar dão o mesmo resultado.

Resposta

\dfrac{d f}{d t}=2t+4t^{3}

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