Nos problemas seguintes encontrar
usando regra da cadeia
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar
usando a regra da cadeia, com as informações:
Pergunta explícita: calcular a derivada de
em relação a
levando em conta que
e
dependem de
.
Passo 2
A ideia-chave (regra da cadeia multivariada): se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
, então a derivada total de
em relação a
é
Explicando:
é a taxa de variação de
quando só
muda (mantendo
fixo);
é a velocidade com que
muda em função de
. Multiplicando-os temos a contribuição de
para a variação total de
. A mesma coisa vale para o termo com
. Somando dá a variação total de
ao variar
.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
. Como
, derivando em relação a
e a
(tratando a outra variável como constante):
Aqui eu usei a regra de potência: a derivada de
em relação a
é
.
Passo 4
Calcular
e
usando as dependências dadas
e
:
Explicação: a derivada de
em relação a
é
; a derivada de
é
(regra de potência).
Passo 5
Substituir na fórmula da regra da cadeia:
Agora substituir
,
,
e
:
Fazendo as multiplicações:
Podemos fatorar se quiser:
Passo 6
Verificação alternativa (opcional, para treinar): primeiro substituo
e
em
,
depois derivo em relação a
:
que coincide com o resultado anterior. Isso mostra que tanto aplicar a regra da cadeia quanto substituir antes e derivar dão o mesmo resultado.