Uma equação linear da forma x^2 y^prime prime+alpha x y^prime+beta y=0, onde a e beta são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável x=e^z se x>0 ( e x=-e^z se x<0) transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
a) x^2 y^prime prime+x y^prime+y=0
b) x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0
c) x^2 y^prime prime+3 x y^prime+10 y=0
d) 2 x^2 y^prime prime+10 x y^prime+3 y=0
d) x^2 y^prime prime+2 x y^prime-12 y=0

Passo 1

A questão trata da equação de Euler de segunda ordem, dada por x^2y''+alpha x y'+beta y=0, que podemos transformar numa equação de coeficientes constantes com a troca de variável x=e^z (ou x=-e^z se x<0). Vamos aplicar essa ideia e depois resolver cada caso específico.

Passo 2

Fazendo z=ln x temos, pela regra da cadeia:
y'=dydx=1xdydz,
e
y''=ddxl(1x,yzr)=1x^2(yzz-yz)
Substituindo em x^2y''+alpha x y'+beta y=0 obtemos
yzz+(alpha-1)yz+beta y=0,
que é uma equação linear de coeficientes constantes.

Passo 3

O passo seguinte é escrever a equação característica
r^2+(alpha-1)r+beta=0
e achar suas raízes r1,r2. A solução geral em z é
y(z)=C1e^r1z+C2e^r2z
Voltando a x, como z=ln x, temos
y(x)=C1x^r1+C2x^r2,
com adaptações para raízes repetidas ou complexas (usar x^acos(bln x), x^asin(bln x) ou x^r(C1+C2ln x)).

Passo 4

Aplicando aos casos dados:

Passo 5

(a) x^2y''+x y'+y=0
Aqui alpha=1,beta=1 e a equação característica é r^2+1=0, com raízes r=pm i. Logo
y=C1cos(ln x)+C2sin(ln x)

Passo 6

(b) x^2y''-3xy'+4y=0
Aqui alpha=-3,beta=4 e
r^2-4r+4=(r-2)^2=0,
raiz dupla r=2. Assim
y=C1x^2+C2x^2ln x

Passo 7

© x^2y''+3xy'+10y=0
Aqui alpha=3,beta=10 e
r^2+2r+10=0implies r=-1pm3i
Solução:
y=x^-1l(C1cos(3ln x)+C2sin(3ln x)r)

Passo 8

(d) 2x^2y''+10xy'+3y=0
Divide por 2: x^2y''+5xy'+tfrac32y=0, logo alpha=5,beta=3/2 e
r^2+4r+tfrac32=0implies r=-4pmraiz16-62=-2pmtfracraiz102
Assim
y=C1x^-2+raiz102+C2x^-2-raiz102

Passo 9

(e) x^2y''+2xy'-12y=0
Aqui alpha=2,beta=-12 e
r^2+r-12=0implies r=3 ou r=-4
Portanto
y=C1x^3+C2x^-4

Resposta

a) y=C1cos(ln x)+C2sin(ln x)
b) y=C1x^2+C2x^2ln x
c) y=x^-1[C1cos(3ln x)+C2sin(3ln x)]
d) y=C1x^-2+raiz102+C2x^-2-raiz102
e) y=C1x^3+C2x^-4

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