Uma equação linear da forma
, onde
e
são constantes reais, é chamada equação de Euler de segunda ordem. Mostre que a mudança de variável
se
( e
se
transforma a equação de Euler em uma equação linear de coeficientes constantes. Aplique esta técnica para determinar a solução geral das equações:
a)
b)
c)
d)
d)
a)
b)
c)
d)
d)
Passo 1
A questão trata da equação de Euler de segunda ordem, dada por
, que podemos transformar numa equação de coeficientes constantes com a troca de variável
(ou
se
). Vamos aplicar essa ideia e depois resolver cada caso específico.
Passo 2
Fazendo
temos, pela regra da cadeia:
e
Substituindo em
obtemos
que é uma equação linear de coeficientes constantes.
Passo 3
O passo seguinte é escrever a equação característica
e achar suas raízes
Voltando a
, como
, temos
com adaptações para raízes repetidas ou complexas (usar
Passo 4
Aplicando aos casos dados:
Passo 5
(a)
Aqui e a equação característica é
, com raízes
. Logo
Aqui
Passo 6
(b)
Aqui e
Aqui
raiz dupla
Passo 7
©
Aqui e
Aqui
Solução:
Passo 8
(d)
Divide por 2: , logo
e
Divide por 2:
Assim
Passo 9
(e)
Aqui e
Aqui
Portanto
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)