a) Determine k sabendo que
é fator integrante da equação:
, em seguida, resolva a equação para
.
b) A equação
tem
como fator integrante. Determine todas as possíveis funções
.
c) Ache um fator integrante da forma
para a equação
b) A equação
c) Ache um fator integrante da forma
Passo 1
O enunciado traz três itens que usam o conceito de fator integrante e equações exatas. No (a) temos a equação
e um candidato a fator integrante
No (b) a equação é
e já sabemos que
é fator integrante. Nosso objetivo é descobrir todas as possíveis funções
que tornam a equação exata após multiplicar por
.
No © temos
No © temos
vamos buscar um fator integrante do tipo
Passo 2
Para o item (a) calculamos a condição de exatidão. Definindo
ficam
A exatidão exige
$$\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y^{k+1}}{x}\Bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y{k+2}-yk\ln x\bigr).
$$
Passo 3
Já com
multiplicamos a eq. original:
$$\frac{y^{-1}}x,dx + \bigl(1 - y^{-2}\ln x\bigr)dy =0.
\quad N^*=1 - \frac{\ln x}{y^2},
$$
Passo 4
No item (b) reescrevemos como
Multiplicando:
A condição de exatidão
leva a
$$x = g(x)+xg’(x).
$$
Passo 5
No item © tomamos
Multiplicando:
A exatidão
gera, após comparação de termos em
e em potências de
, o sistema
Daí
e
, então um fator integrante é
$$h(x,y)=x{-1}y{-2}.
$$
Resposta
(a)
e a solução com
é
. (b)
. ©
.