a) Determine k sabendo que mu(x, y)=y^kx é fator integrante da equação: y d x+(x y^2-x ln (x)) d y=0 e, em seguida, resolva a equação para y(1)=2.
b) A equação g(x) d y+(y+x) d x=0 tem h(x)=x como fator integrante. Determine todas as possíveis funções g.
c) Ache um fator integrante da forma h(x, y)=x^n y^m para a equação y(y^2+) d x+x(y^2-1) ln (x) d y=0

Passo 1

O enunciado traz três itens que usam o conceito de fator integrante e equações exatas. No (a) temos a equação
y,dx + l(xy^2 - xln xr),dy = 0
e um candidato a fator integrante mu(x,y)=y^k/x. Precisamos achar k tal que, ao multiplicar por mu, a equação fique exata, e depois resolver com a condição inicial y(1)=2.
No (b) a equação é
g(x),dy + (y + x),dx=0
e já sabemos que mu(x)=x é fator integrante. Nosso objetivo é descobrir todas as possíveis funções g(x) que tornam a equação exata após multiplicar por x.
No © temos
y(y^2+1),dx + x(y^2-1)ln(x),dy = 0
vamos buscar um fator integrante do tipo h(x,y)=x^n y^m de modo que a equação multiplicada por h seja exata.

Passo 2

Para o item (a) calculamos a condição de exatidão. Definindo
M=y, N = x y^2 - xln x, mu = y^kx,
ficam
mu M=y^k+1x, mu N = y^k(y^2-ln x)
A exatidão exige
$$\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y^{k+1}}{x}\Bigr)=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y{k+2}-yk\ln x\bigr).
partialpartial yl(y^k+1xr)=partialpartial xl(y^k+2-y^kln xr) éék+1=-1\implies k=-2.
$$

Passo 3

Já com mu=1/(x y^2) multiplicamos a eq. original:
$$\frac{y^{-1}}x,dx + \bigl(1 - y^{-2}\ln x\bigr)dy =0.
y^-1x,dx + l(1 - y^-2ln xr)dy =0 M^*=\frac1{x y},
\quad N^*=1 - \frac{\ln x}{y^2},
M^*=1x y, N^*=1 - ln xy^2, \phi(x,y)=\int\frac{dx}{x y}=\frac{\ln x}{y}+h(y).
phi(x,y)áçãíé\frac{\ln x}{y}+y=C.
phix=M^*\frac{\ln x}{y}+y=2.
$$

Passo 4

No item (b) reescrevemos como
M=y+x, N=g(x), mu(x)=x
Multiplicando:
M^*=x(y+x)=xy+x^2, N^*=xg(x)
A condição de exatidão M^*y=N^*x leva a
$$x = g(x)+xg’(x).
x = g(x)+xg'(x) éé\frac{d}{dx}(xg)=x\implies xg=\tfrac{x^2}{2}+K\implies g(x)=\frac x2+\frac{K}{x}.
$$

Passo 5

No item © tomamos
M=y(y^2+1), N=x(y^2-1)ln x, h=x^n y^m
Multiplicando:
M^*=x^n y^m(y^3+y), N^*=x^n+1y^m(y^2-1)ln x
A exatidão partialy M^*=partialx N^* gera, após comparação de termos em ln x e em potências de y, o sistema
n+1=0, m+3=1, m+1=-1
Daí n=-1 e m=-2, então um fator integrante é
$$h(x,y)=x{-1}y{-2}.
$$

Resposta

(a) k=-2 e a solução com y(1)=2 é ln x/y + y=2. (b) g(x)=x/2+K/x. © h(x,y)=x^-1y^-2.

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