Use o método de redução de ordem para encontrar uma segunda solução y2(x) da equação homogênea e uma solução particular da equação não homogênea dada. Encontre a solução geral da equação difencial.
  1. y^prime prime-4 y=2 ; y1=e^-2 x
  2. x^2 y^prime prime-3 x y^prime+4 y=0 ; y1(x)=x^2
  3. x y^prime prime+(1-2 x) y^prime+(x-1) y=0 ; x>0, y1=e^x
  4. x^2 y^prime prime-2 x y^prime-4 y=0 ; y1(x)=x^-1

Passo 1

Temos quatro equações diferenciais de 2ª ordem lineares. A (1) é não homogênea e as (2),(3),(4) são homogêneas. Vamos usar redução de ordem para achar a 2ª solução das homogêneas com y₁ dada e, para a (1), coeficientes indeterminados para achar a parte particular.

Passo 2

Para (1) y’‘−4y=2 com y₁=e^{−2x}, consideramos a homogênea y’‘−4y=0 e fazemos y₂=v(x)e^{−2x}.
Ao substituir y₂ na homogênea e impor a condição v’‘e^{−2x}=0, obtemos v’(x)=Ce^{4x}. Integrando, v(x)=e^{4x}/4. Logo y₂=e{−2x}·e{4x}=e^{2x}.

Passo 3

Para achar y_p de y’‘−4y=2, tentamos y_p=A (constante). Substituindo em y’'−4y=2 dá −4A=2 ⇒ A=−1/2, logo y_p=−1/2.
Portanto a solução geral da eq (1) é y=C₁e{−2x}+C₂e{2x}−1/2.

Passo 4

Para (2) x²y’‘−3xy’+4y=0 (euler–cauchy) com y₁=x², escrevemos na forma y’’+p(x)y’+q(x)y=0, onde p(x)=−3/x, e usamos y₂=y₁∫e^{−∫p dx}/y₁² dx.
Calculamos ∫p dx=−3ln x ⇒ e^{−∫p dx}=x^3. Assim y₂=x²∫(x3)/(x4)dx=x²∫x^{−1}dx=x²ln x e, ficando y=C₁x²+C₂x²ln x.

Passo 5

Para (3) xy’’+(1−2x)y’+(x−1)y=0 dividimos por x e achamos p(x)=1/x−2. Usamos y₂=y₁∫e^{−∫p dx}/y₁² dx com y₁=e^x.
∫p dx=ln x−2x ⇒ e^{−∫p dx}=x{−1}e{2x}. Logo y₂=ex∫x{−1}dx=e^xln x. A solução é y=C₁ex+C₂exln x.

Passo 6

Para (4) x²y’'−2xy’−4y=0 (euler) com y₁=x^{−1}, temos p(x)=−2/x e ∫p dx=−2ln x ⇒ e^{−∫p dx}=x^2. Então y₂=x{−1}∫x2/(x{−2})dx=x{−1}∫x4dx=(1/5)x4.
Absorvendo 1/5 em C₂, a solução geral da (4) é y=C₁x{−1}+C₂x4.

Resposta

(1) y=C1e^-2x+C2e^2x-tfrac12; (2) y=C1x^2+C2x^2ln x; (3) y=C1e^x+C2e^xln x; (4) y=C1x^-1+C2x^4.

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