A equação do momento em sua forma diferencial,
representa respectivamente, da esquerda para a direita, as forças de inércia, de pressão, de campo e viscosas por unidade de volume;
Passo 1
O enunciado fornece a equação
e afirma que, da esquerda para a direita, os termos representam, respectivamente: forças de inércia, de pressão, de campo e viscosas por unidade de volume.
Dados explícitos que temos no enunciado:
Dados explícitos que temos no enunciado:
- O termo à esquerda (entre colchetes multiplicado por
) é apresentado como a contribuição inercial. - No lado direito aparecem, na ordem escrita:
, e . - O enunciado chama
de algo relacionado à viscosidade e parece ser um campo de acelerações (força de corpo por massa).
Observação (apenas identificação do que está escrito): o enunciado mostradentro dos colchetes; eu só estou registrando isso aqui — não vou ainda decidir se é um erro de digitação.
Passo 2
Entender o termo inercial: qual é o termo correto e por quê.
- Em mecânica dos fluidos, o termo que representa a aceleração de uma parcela de fluido é a derivada material da velocidade, chamada de
. Ela é definida por
onde
é a derivada temporal local da velocidade e
é o termo convectivo (variação advectiva da velocidade).
- Multiplicando essa aceleração pela densidade
obtemos a força de inércia por unidade de volume:
- Conclusão importante: o termo correto dentro dos colchetes deve ser
, não . Se o enunciado tem foi provavelmente um erro de tipografia. Física/intuitivamente: massa por volume ( ) vezes aceleração ( ) = força por volume. Isso é a força inercial.
Passo 3
Entender o termo de pressão
.
- A pressão
é um escalar que atua como força por área (tração) em superfícies do fluido. Ao passar para força por unidade de volume tomamos o gradiente de pressão. Em uma dimensão, a força por volume na direção é aproximadamente
o sinal negativo aparece porque uma pressão maior à direita empurra o fluido para a esquerda.
- Portanto,
é o termo que representa a força volumétrica resultante das variações de pressão — é mesmo o termo de pressão por unidade de volume.
Passo 4
Entender o(s) termo(s) viscoso(s)
e o sinal associado.
- Na formulação tensorial da mecânica dos fluidos usamos o tensor de tensões de Cauchy
. Ele pode ser decomposto em
onde
é a parte isotrópica (pressão) e
é o tensor de tensões desviatoriais (associado a esforços viscosos).
- A força por unidade de volume devido às tensões é
. Substituindo a decomposição,
- Assim, o termo viscoso que aparece normalmente no lado direito da equação de momento é
(sem o sinal negativo). Se o enunciado mostra , isso significa que ou: - Foi adotada uma convenção diferente para o sinal de
(por exemplo já definido com sinal trocado), ou - Há uma inconsistência de sinais no enunciado.
- Foi adotada uma convenção diferente para o sinal de
- O ponto prático para a interpretação das ordens: o termo associado aos efeitos viscosos (forças viscosas por unidade de volume) é o que envolve a divergência de
— normalmente escrito como .
Passo 5
Entender o termo de corpo (campo)
.
- Um “termo de campo” ou “força de corpo” é uma força que atua sobre cada unidade de massa (por exemplo gravidade). Se
for a aceleração do campo (por exemplo ), então a força por unidade de volume é massa por volume vezes aceleração por massa:
- Exemplo comum: se
, fica , a força peso por volume.
Passo 6
Juntando tudo e verificando a ordem “da esquerda para a direita” pedida no enunciado.
- Lado esquerdo (expressão multiplicada por
): representa a força de inércia por unidade de volume, desde que o termo interno seja . - No lado direito, na ordem escrita no enunciado, aparecem:
(termo de pressão), (escrito assim no enunciado, mas fisicamente o termo viscoso usual é ), e (termo de corpo/ campo). Portanto, a ordem correta física (usando a convenção padrão positivo para viscosas) é: pressão, viscosas, corpo (campo). - Comparando com a afirmação do enunciado (“inércia, pressão, de campo e viscosas”): o enunciado trocou a ordem entre o termo de corpo e o termo viscoso — ou seja, colocou o termo de campo antes do termo viscoso, quando na equação dada o termo viscoso aparece antes do termo de corpo. Além disso há a observação de que o termo temporal escrito é
, que está provavelmente errado e deveria ser .
Resposta
Incorreto. A ordem correta (convenção padrão) é: inércia; pressão; viscosas; de campo (por unidade de volume). Observação: o termo temporal correto na derivada material é
, não
.