A equação do momento em sua forma diferencial,
\rho\left[\frac{\partial \rho}{\partial t}+v \cdot \nabla v\right]=-\nabla P-\nabla \cdot \tau+\rho k
representa respectivamente, da esquerda para a direita, as forças de inércia, de pressão, de campo e viscosas por unidade de volume;

Passo 1

O enunciado fornece a equação
\rho\left[\frac{\partial \rho}{\partial t}+v \cdot \nabla v\right]=-\nabla P-\nabla \cdot \tau+\rho k
e afirma que, da esquerda para a direita, os termos representam, respectivamente: forças de inércia, de pressão, de campo e viscosas por unidade de volume.
Dados explícitos que temos no enunciado:
  • O termo à esquerda (entre colchetes multiplicado por \rho) é apresentado como a contribuição inercial.
  • No lado direito aparecem, na ordem escrita: -\nabla P, -\nabla\cdot\tau e \rho k.
  • O enunciado chama \tau de algo relacionado à viscosidade e k parece ser um campo de acelerações (força de corpo por massa).
    Observação (apenas identificação do que está escrito): o enunciado mostra \partial \rho/\partial t dentro dos colchetes; eu só estou registrando isso aqui — não vou ainda decidir se é um erro de digitação.

Passo 2

Entender o termo inercial: qual é o termo correto e por quê.
  • Em mecânica dos fluidos, o termo que representa a aceleração de uma parcela de fluido é a derivada material da velocidade, chamada de D v/Dt. Ela é definida por
\frac{D v}{D t}=\frac{\partial v}{\partial t}+v\cdot\nabla v,
onde \partial v/\partial t é a derivada temporal local da velocidade e v\cdot\nabla v é o termo convectivo (variação advectiva da velocidade).
  • Multiplicando essa aceleração pela densidade \rho obtemos a força de inércia por unidade de volume:
\rho\frac{D v}{D t}=\rho\left(\frac{\partial v}{\partial t}+v\cdot\nabla v\right).
  • Conclusão importante: o termo correto dentro dos colchetes deve ser \dfrac{\partial v}{\partial t}, não \dfrac{\partial \rho}{\partial t}. Se o enunciado tem \partial \rho/\partial t foi provavelmente um erro de tipografia. Física/intuitivamente: massa por volume ( \rho) vezes aceleração ( D v/Dt) = força por volume. Isso é a força inercial.

Passo 3

Entender o termo de pressão -\nabla P.
  • A pressão P é um escalar que atua como força por área (tração) em superfícies do fluido. Ao passar para força por unidade de volume tomamos o gradiente de pressão. Em uma dimensão, a força por volume na direção x é aproximadamente
-\frac{P(x+\Delta x)-P(x)}{\Delta x}\approx -\frac{\partial P}{\partial x},
o sinal negativo aparece porque uma pressão maior à direita empurra o fluido para a esquerda.
  • Portanto, -\nabla P é o termo que representa a força volumétrica resultante das variações de pressão — é mesmo o termo de pressão por unidade de volume.

Passo 4

Entender o(s) termo(s) viscoso(s) \tau e o sinal associado.
  • Na formulação tensorial da mecânica dos fluidos usamos o tensor de tensões de Cauchy \sigma. Ele pode ser decomposto em
\sigma=-P\,\mathbf{I}+\tau,
onde -P\mathbf{I} é a parte isotrópica (pressão) e \tau é o tensor de tensões desviatoriais (associado a esforços viscosos).
  • A força por unidade de volume devido às tensões é \nabla\cdot\sigma. Substituindo a decomposição,
\nabla\cdot\sigma=\nabla\cdot(-P\mathbf{I}+\tau)=-\nabla P+\nabla\cdot\tau.
  • Assim, o termo viscoso que aparece normalmente no lado direito da equação de momento é \nabla\cdot\tau (sem o sinal negativo). Se o enunciado mostra -\nabla\cdot\tau, isso significa que ou:
    1. Foi adotada uma convenção diferente para o sinal de \tau (por exemplo \tau já definido com sinal trocado), ou
    2. Há uma inconsistência de sinais no enunciado.
  • O ponto prático para a interpretação das ordens: o termo associado aos efeitos viscosos (forças viscosas por unidade de volume) é o que envolve a divergência de \tau — normalmente escrito como +\nabla\cdot\tau.

Passo 5

Entender o termo de corpo (campo) \rho k.
  • Um “termo de campo” ou “força de corpo” é uma força que atua sobre cada unidade de massa (por exemplo gravidade). Se k for a aceleração do campo (por exemplo \mathbf{g}), então a força por unidade de volume é massa por volume vezes aceleração por massa:
\rho k \quad\text{(força por unidade de volume)}.ç
  • Exemplo comum: se k=\mathbf{g}, fica \rho\mathbf{g}, a força peso por volume.

Passo 6

Juntando tudo e verificando a ordem “da esquerda para a direita” pedida no enunciado.
  • Lado esquerdo (expressão multiplicada por \rho): representa a força de inércia por unidade de volume, desde que o termo interno seja \dfrac{\partial v}{\partial t}+v\cdot\nabla v.
  • No lado direito, na ordem escrita no enunciado, aparecem: -\nabla P (termo de pressão), -\nabla\cdot\tau (escrito assim no enunciado, mas fisicamente o termo viscoso usual é +\nabla\cdot\tau), e \rho k (termo de corpo/ campo). Portanto, a ordem correta física (usando a convenção padrão \nabla\cdot\tau positivo para viscosas) é: pressão, viscosas, corpo (campo).
  • Comparando com a afirmação do enunciado (“inércia, pressão, de campo e viscosas”): o enunciado trocou a ordem entre o termo de corpo e o termo viscoso — ou seja, colocou o termo de campo antes do termo viscoso, quando na equação dada o termo viscoso aparece antes do termo de corpo. Além disso há a observação de que o termo temporal escrito é \partial \rho/\partial t, que está provavelmente errado e deveria ser \partial v/\partial t.

Resposta

Incorreto. A ordem correta (convenção padrão) é: inércia; pressão; viscosas; de campo (por unidade de volume). Observação: o termo temporal correto na derivada material é \dfrac{\partial v}{\partial t}, não \dfrac{\partial \rho}{\partial t}.

Exercícios relacionados