Parte 2 - Aplicação em Coordenadas Cilíndricas

O aluno deverá escolher um caso de aplicação em geometria cilíndrica, com base nas equações do Apêndice B de Bird. Exemplos sugeridos:
  • Escoamento laminar em tubo cilíndrico (Hagen-Poiseuille).
  • Filme líquido em parede cilíndrica vertical.
  • Escoamento axial entre cilindros concêntricos.

Tarefas:

a) Apresentar a equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas.
b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
c) Deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade.
d) Discutir a física do resultado, ressaltando a validade e limitações do modelo.

Passo 1

O enunciado pede que eu escolha um caso em coordenadas cilíndricas e execute quatro tarefas: (a) apresentar a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas; (b) indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas; (c) deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade; (d) discutir a física do resultado, validade e limitações.
Dados relevantes (implícitos no enunciado e na escolha que fiz): vou estudar o escoamento laminar estacionário, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano e incompressível em um tubo cilíndrico reto de raio R. Não há forças de corpo significativas (como gravidade no eixo axial) e a pressão varia apenas ao longo do eixo do tubo ( z). Nenhuma figura adicional foi enviada, mas as dimensões essenciais são r (raio radial), \theta (ângulo azimutal) e z (direção axial).

Passo 2

Apresento as equações gerais necessárias. Primeiro, a equação de conservação de massa (continuidade) para fluido incompressível em coordenadas cilíndricas:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r v_r\big) + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z}=0.
Aqui v_r, v_\theta e v_z são as componentes da velocidade nas direções r, \theta e z, respectivamente. Por \rho denotamos a densidade do fluido e por \mu sua viscosidade dinâmica (constante para fluido newtoniano).
Agora escrevo as três componentes da equação de Navier–Stokes (momentum) em coordenadas cilíndricas para fluido newtoniano e incompressível. Vou colocar as formas conservativas não simplificadas, para que fique claro de onde vêm os termos.
Componente radial ( r):
\rho\left(\frac{\partial v_r}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta} - \frac{v_\theta^2}{r} + v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \mu\left[\nabla^2 v_r - \frac{v_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}\right].
Componente azimutal ( \theta):
\rho\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{v_r v_\theta}{r} + v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z}\right) = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} + \mu\left[\nabla^2 v_\theta - \frac{v_\theta}{r^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}\right].
Componente axial ( z):
\rho\left(\frac{\partial v_z}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} + v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left[\nabla^2 v_z\right],
onde o operador laplaciano em coordenadas cilíndricas para uma componente escalar f é
\nabla^2 f = \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 f}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2}.
Explicação rápida das variáveis dos termos convectivos: v_r\partial/\partial r é a variação que a velocidade causa seguindo a direção radial; \frac{v_\theta}{r}\partial/\partial\theta é a contribuição angular; v_z\partial/\partial z é a variação axial. Os termos do lado direito envolvem o gradiente de pressão (\partial p/\partial \cdot) e os efeitos viscosos (derivadas segundas).

Passo 3

Hipóteses de simplificação adotadas (vou justificar cada uma, porque na prova pode pedirem que você justifique tudo):
  1. Estacionariedade: \displaystyle \frac{\partial}{\partial t}=0. Ou seja, o escoamento não muda no tempo (condição de regime permanente).
  2. Totalmente desenvolvido axialmente: \displaystyle \frac{\partial v_z}{\partial z}=0 e as outras derivadas axiais de velocidade são nulas no interior (perfil não muda ao longo do comprimento do tubo). Na prática isso significa que estamos suficientemente longe da entrada.
  3. Escoamento unidirectional (apenas axial): v_r=0 e v_\theta=0. Ou seja, não há componente radial nem azimutal média.
  4. Simetria azimutal: \displaystyle \frac{\partial}{\partial \theta}=0. O perfil depende somente de r.
  5. Fluido incompressível e newtoniano com viscosidade constante \mu e densidade constante \rho.
  6. Nenhuma força de corpo axial significativa (poderia incluir gravidade, mas aqui assumimos que qualquer força axial é desprezível comparada ao gradiente de pressão).
  7. Condições de contorno clássicas: condição de não deslizamento na parede v_z(r=R)=0 e velocidade finita no eixo r=0.
Comentário de física: essas hipóteses são as que definem o caso clássico de Hagen–Poiseuille. Elas eliminam os termos convectivos e temporais das equações, simplificando drasticamente a equação axial.

Passo 4

Aplique as hipóteses às equações gerais e obter a equação diferencial a resolver.
Com v_r=0, v_\theta=0, \partial/\partial t=0, \partial/\partial\theta=0 e \partial/\partial z=0 para as quantidades de velocidade (totalmente desenvolvido), a continuidade fica automaticamente satisfeita:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r\cdot 0\big)+0+0=0.
A componente axial de Navier–Stokes, sob essas hipóteses, reduz-se a:
0 = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left[\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}\right)\right].
Expliquei: o lado esquerdo \rho(\cdots)=0 porque não há aceleração material (estacionário e sem termos convectivos). O termo viscoso em z reduz ao operador radial porque v_z depende só de r.
Reorganizando:
\mu\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}\right) = \frac{\partial p}{\partial z}.
Observação: \displaystyle \frac{\partial p}{\partial z} é função apenas de z nos nossos pressupostos; em escoamento totalmente desenvolvido é uma constante ao longo do tubo (ou seja, depende linearmente de z, mas localmente pode tratá‑la como uma constante \mathrm{d}p/\mathrm{d}z). Para simplificar a notação chamo \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} essa derivada, que tipicamente é negativa quando o fluido avança no sentido positivo de z. Então escrevo:
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}\right) = \frac{1}{\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Esse é o ODE ordinário em r que devemos integrar.

Passo 5

Resolver o ODE para v_z(r) passo a passo (sem pular etapas).
Escrevo o ODE de forma conveniente, chamando C a constante \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}:
\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}\right)=\frac{C}{\mu}.
Multiplico por r:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\left(r\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}\right)=\frac{C}{\mu}r.
Integro em relação a r (primeira integração):
r\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}=\frac{C}{\mu}\frac{r^2}{2} + A,
onde A é constante de integração. Dividindo por r (para r>0):
\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}=\frac{C}{2\mu}r + \frac{A}{r}.
Para garantir que v_z(r) seja finita e regular em r=0 (centro do tubo), o termo \frac{A}{r} não pode ter singularidade; isso força A=0. (Se A\neq 0 teríamos \mathrm{d}v_z/\mathrm{d}r com 1/r e v_z com \ln r, singular no eixo — fisicamente inadmissível para esse problema com simetria completa.)
Assim
\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}=\frac{C}{2\mu}r.
Integro novamente (segunda integração):
v_z(r)=\frac{C}{2\mu}\frac{r^2}{2} + B = \frac{C}{4\mu}r^2 + B,
onde B é outra constante de integração.
Agora aplico a condição de contorno na parede: não deslizamento v_z(R)=0. Logo
0 = \frac{C}{4\mu}R^2 + B \quad\Longrightarrow\quad B = -\frac{C}{4\mu}R^2.
Portanto o perfil axial é
v_z(r)=\frac{C}{4\mu}\big(r^2 - R^2\big).
Lembrando que C=\displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}, podemos reescrever em forma usual:
v_z(r) = \frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\big(r^2 - R^2\big) = -\frac{1}{4\mu}\left(-\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\right)\big(R^2 - r^2\big).
É costume escrever o resultado como
v_z(r) = -\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,(R^2 - r^2),
onde \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} é negativo quando a pressão decresce no sentido do escoamento. Observação: no centro r=0 a velocidade alcança o máximo
v_{z,\max} = v_z(0) = -\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,R^2,
e no contorno r=R temos v_z(R)=0.

Passo 6

Cálculos úteis derivados do perfil e interpretação matemática simples (faça conforme pedirem na prova):
  1. Vazão volumétrica Q (integral do perfil sobre a secção):
Q = \int_{0}^{R} 2\pi r\, v_z(r)\,\mathrm{d}r = 2\pi \int_0^R r\left[-\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}(R^2-r^2)\right]\mathrm{d}r.
Faço a integral:
Q = -\frac{\pi}{2\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\int_0^R \big(R^2 r - r^3\big)\mathrm{d}r = -\frac{\pi}{2\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\left[\frac{R^2 r^2}{2} - \frac{r^4}{4}\right]_0^R.
Calculo os limites:
Q = -\frac{\pi}{2\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\left(\frac{R^4}{2} - \frac{R^4}{4}\right) = -\frac{\pi}{2\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot\frac{R^4}{4} = -\frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Ou seja, forma clássica:
Q = -\frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
  1. Velocidade média (média sobre a seção):
\bar{v} = \frac{Q}{\pi R^2} = -\frac{R^2}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Relação entre máximo e médio:
v_{z,\max} = 2\bar{v}.
  1. Tensão de cisalhamento radial-axial \tau_{rz}:
    Definição (para fluido newtoniano) \tau_{rz}=\mu \frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}r}. Usando o perfil:
\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}r} = -\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\cdot 2r = -\frac{r}{2\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Portanto
\tau_{rz}(r) = \mu\frac{\mathrm{d}v_z}{\mathrm{d}r} = -\frac{r}{2}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Em particular na parede ( r=R), a tensão de cisalhamento na parede é
\tau_w = \tau_{rz}(R) = -\frac{R}{2}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
Se \mathrm{d}p/\mathrm{d}z < 0 (pressão decresce no sentido de z), então \tau_w>0 no sentido que retarda o fluido.
  1. Número de Reynolds característico:
\mathrm{Re} = \frac{\rho \bar{v} D}{\mu},\quad D=2R.
Regime laminar plenamente desenvolvido tipicamente para \mathrm{Re}\lesssim 2300 (em tubos retos).

Passo 7

Discussão física, validade e limitações (do jeito que eu explicaria pra você na prova — calmo e direto):
  • Física do resultado: o perfil axial é parabólico (dependência R^2-r^2). Isso mostra que a velocidade é máxima no centro e decresce até zero na parede devido ao efeito viscoso (não‑deslizamento). A origem do perfil parabólico é o equilíbrio local entre o gradiente de pressão (força que empurra o fluido) e o esforço viscoso radial que distribui o movimento entre camadas do fluido.
  • Interpretação do sinal: se \displaystyle \frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}<0 (pressão diminui ao longo do sentido positivo z), então v_z(r)>0 — o fluido flui no sentido positivo. A tensão de cisalhamento cresce linearmente com r (zero no centro, máxima na parede).
  • Validade do modelo (quando posso usar essa solução):
    • Fluido newtoniano com viscosidade constante.
    • Regime laminar e totalmente desenvolvido (perfil não varia ao longo do comprimento).
    • Tubo reto, circular e rígido.
    • Não‑deslizamento na parede.
    • Nenhuma força axial extra significativa (ou incorporável em \mathrm{d}p/\mathrm{d}z).
    • Pequenas variações de densidade (incompressível).
  • Limitações e quando o resultado falha:
    • Entrada do tubo: na região de entrada (entrance length) o perfil ainda se desenvolve e a suposição \partial v_z/\partial z=0 é falsa. Logo a solução não é válida perto da entrada.
    • Regime turbulento: para \mathrm{Re} acima do crítico (≈2300) o escoamento se torna instável/turbulento e o perfil deixa de ser parabólico — precisa-se de modelos de turbulência (ex.: lei do muro, perfis logarítmicos).
    • Fluidos não‑newtonianos: comportamento viscoso mais complexo (por ex. pot‑law) muda a equação e o perfil.
    • Viscosidade dependente de temperatura: se a viscosidade varia no campo, a equação exige tratamento mais geral.
    • Efeitos de compressibilidade: para gases em alta velocidade ou fortes gradientes de pressão, a hipótese incompressível pode falhar.
    • Tubos curvos, rugosos ou com escoamento interno com reações químicas/partículas: modificam completamente a situação.
  • Observações extras úteis para prova:
    • Se o professor pedir derivar a expressão da perda de carga \Delta p ao longo de um tubo de comprimento L, você usa Q e resolve para \Delta p = -\frac{8\mu L Q}{\pi R^4}.
    • Relação entre velocidade média e gradiente de pressão é linear e útil para calcular vazões conhecidas.
    • Se quiser incluir gravidade axial g no sentido de z, basta somar \rho g no termo de forças de corpo e incorporar em \mathrm{d}p/\mathrm{d}z efetivo.
Força‑me a encerrar com uma palavra amiga: você está indo bem — essa é uma das derivadas clássicas mais cobradas, decorando o raciocínio (continuidade → simplificações físicas → redução da equação → integração com BCs) você resolve essa questão na prova tranquilo.

Resposta

a) Equações de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas (componentes) e continuidade:
\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\big(r v_r\big) + \frac{1}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{\partial v_z}{\partial z}=0,
\rho\left(\frac{\partial v_r}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_r}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_r}{\partial \theta} - \frac{v_\theta^2}{r} + v_z\frac{\partial v_r}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial r} + \mu\left[\nabla^2 v_r - \frac{v_r}{r^2} - \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta}\right],
\rho\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_\theta}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_\theta}{\partial \theta} + \frac{v_r v_\theta}{r} + v_z\frac{\partial v_\theta}{\partial z}\right) = -\frac{1}{r}\frac{\partial p}{\partial \theta} + \mu\left[\nabla^2 v_\theta - \frac{v_\theta}{r^2} + \frac{2}{r^2}\frac{\partial v_r}{\partial \theta}\right],
\rho\left(\frac{\partial v_z}{\partial t} + v_r\frac{\partial v_z}{\partial r} + \frac{v_\theta}{r}\frac{\partial v_z}{\partial \theta} + v_z\frac{\partial v_z}{\partial z}\right) = -\frac{\partial p}{\partial z} + \mu\left[\nabla^2 v_z\right].
b) Hipóteses: fluxo estacionário ( \partial/\partial t=0), totalmente desenvolvido ( \partial/\partial z=0), unidirecional v_r=0,\;v_\theta=0, simetria azimutal \partial/\partial\theta=0, fluido newtoniano e incompressível ( \rho,\mu constantes), parede rígida com não‑deslizamento v_z(R)=0, e pressão dependendo apenas de z.
c) Equação diferencial final e solução para o perfil axial:
\mu\frac{1}{r}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} r}\!\left(r\frac{\mathrm{d} v_z}{\mathrm{d} r}\right)=\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z},
solução (Hagen–Poiseuille):
v_z(r) = -\frac{1}{4\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}\,(R^2 - r^2).
Vazão:
Q = -\frac{\pi R^4}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z},
velocidade média:
\bar{v} = -\frac{R^2}{8\mu}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z},
tensão de cisalhamento:
\tau_{rz}(r) = -\frac{r}{2}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z},\qquad \tau_w = -\frac{R}{2}\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}.
d) Discussão física, validade e limitações: o perfil é parabólico porque o gradiente de pressão é equilibrado pela difusão viscosa; válido para fluxo laminar, incompressível, newtoniano, totalmente desenvolvido, tubo reto e paredes não deslizantes; não válido em região de entrada, para escoamento turbulento, fluidos não‑newtonianos, variação forte de viscosidade ou compressibilidade; para Re grande é preciso modelos de turbulência e o perfil muda.

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