Parte 2 - Aplicação em Coordenadas Cilíndricas
O aluno deverá escolher um caso de aplicação em geometria cilíndrica, com base nas equações do Apêndice B de Bird. Exemplos sugeridos:
- Escoamento laminar em tubo cilíndrico (Hagen-Poiseuille).
- Filme líquido em parede cilíndrica vertical.
- Escoamento axial entre cilindros concêntricos.
Tarefas:
a) Apresentar a equação de Navier-Stokes em coordenadas cilíndricas.
b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
c) Deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade.
d) Discutir a física do resultado, ressaltando a validade e limitações do modelo.
b) Indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas (permanência, simetria, ausência de termos radiais, etc.).
c) Deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade.
d) Discutir a física do resultado, ressaltando a validade e limitações do modelo.
Passo 1
O enunciado pede que eu escolha um caso em coordenadas cilíndricas e execute quatro tarefas: (a) apresentar a equação de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas; (b) indicar claramente as hipóteses de simplificação adotadas; (c) deduzir a equação diferencial final e resolver para o perfil de velocidade; (d) discutir a física do resultado, validade e limitações.
Dados relevantes (implícitos no enunciado e na escolha que fiz): vou estudar o escoamento laminar estacionário, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano e incompressível em um tubo cilíndrico reto de raio . Não há forças de corpo significativas (como gravidade no eixo axial) e a pressão varia apenas ao longo do eixo do tubo (
). Nenhuma figura adicional foi enviada, mas as dimensões essenciais são
(raio radial),
(ângulo azimutal) e
(direção axial).
Dados relevantes (implícitos no enunciado e na escolha que fiz): vou estudar o escoamento laminar estacionário, totalmente desenvolvido, de um fluido newtoniano e incompressível em um tubo cilíndrico reto de raio
Passo 2
Apresento as equações gerais necessárias. Primeiro, a equação de conservação de massa (continuidade) para fluido incompressível em coordenadas cilíndricas:
Aqui
,
e
são as componentes da velocidade nas direções
,
e
, respectivamente. Por
denotamos a densidade do fluido e por
sua viscosidade dinâmica (constante para fluido newtoniano).
Agora escrevo as três componentes da equação de Navier–Stokes (momentum) em coordenadas cilíndricas para fluido newtoniano e incompressível. Vou colocar as formas conservativas não simplificadas, para que fique claro de onde vêm os termos.
Componente radial (
):
Componente azimutal (
):
Componente axial (
):
onde o operador laplaciano em coordenadas cilíndricas para uma componente escalar
é
Explicação rápida das variáveis dos termos convectivos:
é a variação que a velocidade causa seguindo a direção radial;
é a contribuição angular;
é a variação axial. Os termos do lado direito envolvem o gradiente de pressão
e os efeitos viscosos (derivadas segundas).
Passo 3
Hipóteses de simplificação adotadas (vou justificar cada uma, porque na prova pode pedirem que você justifique tudo):
- Estacionariedade:
. Ou seja, o escoamento não muda no tempo (condição de regime permanente). - Totalmente desenvolvido axialmente:
e as outras derivadas axiais de velocidade são nulas no interior (perfil não muda ao longo do comprimento do tubo). Na prática isso significa que estamos suficientemente longe da entrada. - Escoamento unidirectional (apenas axial):
e . Ou seja, não há componente radial nem azimutal média. - Simetria azimutal:
. O perfil depende somente de . - Fluido incompressível e newtoniano com viscosidade constante
e densidade constante . - Nenhuma força de corpo axial significativa (poderia incluir gravidade, mas aqui assumimos que qualquer força axial é desprezível comparada ao gradiente de pressão).
- Condições de contorno clássicas: condição de não deslizamento na parede
e velocidade finita no eixo .
Comentário de física: essas hipóteses são as que definem o caso clássico de Hagen–Poiseuille. Elas eliminam os termos convectivos e temporais das equações, simplificando drasticamente a equação axial.
Passo 4
Aplique as hipóteses às equações gerais e obter a equação diferencial a resolver.
Com
,
,
,
e
para as quantidades de velocidade (totalmente desenvolvido), a continuidade fica automaticamente satisfeita:
A componente axial de Navier–Stokes, sob essas hipóteses, reduz-se a:
Expliquei: o lado esquerdo
porque não há aceleração material (estacionário e sem termos convectivos). O termo viscoso em
reduz ao operador radial porque
depende só de
.
Reorganizando:
Observação:
é função apenas de
nos nossos pressupostos; em escoamento totalmente desenvolvido é uma constante ao longo do tubo (ou seja, depende linearmente de
, mas localmente pode tratá‑la como uma constante
). Para simplificar a notação chamo
essa derivada, que tipicamente é negativa quando o fluido avança no sentido positivo de
. Então escrevo:
Esse é o ODE ordinário em
que devemos integrar.
Passo 5
Resolver o ODE para
passo a passo (sem pular etapas).
Escrevo o ODE de forma conveniente, chamando
a constante
:
Multiplico por
:
Integro em relação a
(primeira integração):
onde
é constante de integração. Dividindo por
(para
):
Para garantir que
seja finita e regular em
(centro do tubo), o termo
não pode ter singularidade; isso força
. (Se
teríamos
com
e
com
, singular no eixo — fisicamente inadmissível para esse problema com simetria completa.)
Assim
Integro novamente (segunda integração):
onde
é outra constante de integração.
Agora aplico a condição de contorno na parede: não deslizamento
. Logo
Portanto o perfil axial é
Lembrando que
, podemos reescrever em forma usual:
É costume escrever o resultado como
onde
é negativo quando a pressão decresce no sentido do escoamento. Observação: no centro
a velocidade alcança o máximo
e no contorno
temos
.
Passo 6
Cálculos úteis derivados do perfil e interpretação matemática simples (faça conforme pedirem na prova):
- Vazão volumétrica
(integral do perfil sobre a secção):
Faço a integral:
Calculo os limites:
Ou seja, forma clássica:
- Velocidade média (média sobre a seção):
Relação entre máximo e médio:
- Tensão de cisalhamento radial-axial
:
Definição (para fluido newtoniano). Usando o perfil:
Portanto
Em particular na parede (
), a tensão de cisalhamento na parede é
Se
(pressão decresce no sentido de
), então
no sentido que retarda o fluido.
- Número de Reynolds característico:
Regime laminar plenamente desenvolvido tipicamente para
(em tubos retos).
Passo 7
Discussão física, validade e limitações (do jeito que eu explicaria pra você na prova — calmo e direto):
-
Física do resultado: o perfil axial é parabólico (dependência
). Isso mostra que a velocidade é máxima no centro e decresce até zero na parede devido ao efeito viscoso (não‑deslizamento). A origem do perfil parabólico é o equilíbrio local entre o gradiente de pressão (força que empurra o fluido) e o esforço viscoso radial que distribui o movimento entre camadas do fluido. -
Interpretação do sinal: se
(pressão diminui ao longo do sentido positivo ), então — o fluido flui no sentido positivo. A tensão de cisalhamento cresce linearmente com (zero no centro, máxima na parede). -
Validade do modelo (quando posso usar essa solução):
- Fluido newtoniano com viscosidade constante.
- Regime laminar e totalmente desenvolvido (perfil não varia ao longo do comprimento).
- Tubo reto, circular e rígido.
- Não‑deslizamento na parede.
- Nenhuma força axial extra significativa (ou incorporável em
). - Pequenas variações de densidade (incompressível).
-
Limitações e quando o resultado falha:
- Entrada do tubo: na região de entrada (entrance length) o perfil ainda se desenvolve e a suposição
é falsa. Logo a solução não é válida perto da entrada. - Regime turbulento: para
acima do crítico (≈2300) o escoamento se torna instável/turbulento e o perfil deixa de ser parabólico — precisa-se de modelos de turbulência (ex.: lei do muro, perfis logarítmicos). - Fluidos não‑newtonianos: comportamento viscoso mais complexo (por ex. pot‑law) muda a equação e o perfil.
- Viscosidade dependente de temperatura: se a viscosidade varia no campo, a equação exige tratamento mais geral.
- Efeitos de compressibilidade: para gases em alta velocidade ou fortes gradientes de pressão, a hipótese incompressível pode falhar.
- Tubos curvos, rugosos ou com escoamento interno com reações químicas/partículas: modificam completamente a situação.
- Entrada do tubo: na região de entrada (entrance length) o perfil ainda se desenvolve e a suposição
-
Observações extras úteis para prova:
- Se o professor pedir derivar a expressão da perda de carga
ao longo de um tubo de comprimento , você usa e resolve para . - Relação entre velocidade média e gradiente de pressão é linear e útil para calcular vazões conhecidas.
- Se quiser incluir gravidade axial
no sentido de , basta somar no termo de forças de corpo e incorporar em efetivo.
- Se o professor pedir derivar a expressão da perda de carga
Força‑me a encerrar com uma palavra amiga: você está indo bem — essa é uma das derivadas clássicas mais cobradas, decorando o raciocínio (continuidade → simplificações físicas → redução da equação → integração com BCs) você resolve essa questão na prova tranquilo.
Resposta
a) Equações de Navier–Stokes em coordenadas cilíndricas (componentes) e continuidade:
b) Hipóteses: fluxo estacionário (
), totalmente desenvolvido (
), unidirecional
, simetria azimutal
, fluido newtoniano e incompressível (
constantes), parede rígida com não‑deslizamento
, e pressão dependendo apenas de
.
c) Equação diferencial final e solução para o perfil axial:
solução (Hagen–Poiseuille):
Vazão:
velocidade média:
tensão de cisalhamento:
d) Discussão física, validade e limitações: o perfil é parabólico porque o gradiente de pressão é equilibrado pela difusão viscosa; válido para fluxo laminar, incompressível, newtoniano, totalmente desenvolvido, tubo reto e paredes não deslizantes; não válido em região de entrada, para escoamento turbulento, fluidos não‑newtonianos, variação forte de viscosidade ou compressibilidade; para Re grande é preciso modelos de turbulência e o perfil muda.