As funções de iterações:
e
geram sequências convergentes para a raiz
, para qualquer aproximação inicial
(1.5, 3). Qual das duas funções geram sequências mais rapidamente convergente para esta raiz? Justifique sua resposta.
e
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções de iteração com ponto-fixo em
:
e afirma que ambas convergem para
sempre que
. Vamos analisar a velocidade de convergência local usando a teoria de ponto-fixo:
se é diferenciável e
, a convergência é localmente linear e sua taxa é dada por
. Quanto menor esse valor, mais rápida a convergência.
se
Passo 2
Verificamos primeiro que
é realmente ponto-fixo de cada iteração:
Passo 3
Calculamos
e avaliamos em
.
Em forma de quociente,
Em forma de quociente,
logo
Para
:
Passo 4
Calculamos
e avaliamos em
.
Escrevendo
Escrevendo
temos
Para
:
Passo 5
Comparamos os módulos das derivadas no ponto-fixo:
Como o fator de contração local é dado por
, a iteração com menor
converge mais rápido.
Resposta
A função
gera sequência mais rapidamente convergente, pois
.