As funções de iterações:
e
\begin{aligned} \varphi_{1}(x) & =\frac{x^{2}}{2-2 x+4} \\\ \varphi_{2}(x) & =\frac{x^{2}}{2-2.5 x+5} \end{aligned}
geram sequências convergentes para a raiz \bar{x}=2, para qualquer aproximação inicial x_{0} \in (1.5, 3). Qual das duas funções geram sequências mais rapidamente convergente para esta raiz? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções de iteração com ponto-fixo em \bar x=2:
\varphi_{1}(x)=\frac{x^{2}}{2-2x+4} \quad\text{e}\quad \varphi_{2}(x)=\frac{x^{2}}{2-2{,}5x+5},
e afirma que ambas convergem para \bar x=2 sempre que x_{0}\in(1{,}5,3). Vamos analisar a velocidade de convergência local usando a teoria de ponto-fixo:
se \varphi é diferenciável e |\varphi'(\bar x)|<1, a convergência é localmente linear e sua taxa é dada por |\varphi'(\bar x)|. Quanto menor esse valor, mais rápida a convergência.

Passo 2

Verificamos primeiro que \bar x=2 é realmente ponto-fixo de cada iteração:
\varphi_{1}(2)=\frac{2^{2}}{2-2\cdot2+4}=\frac{4}{6-4}=\frac{4}{2}=2,
\varphi_{2}(2)=\frac{2^{2}}{2-2{,}5\cdot2+5}=\frac{4}{7-5}=\frac{4}{2}=2.

Passo 3

Calculamos \varphi_{1}'(x) e avaliamos em x=2.
Em forma de quociente,
\varphi_{1}(x)=\frac{x^{2}}{6-2x},
logo
\varphi_{1}'(x) =\frac{(6-2x)\cdot 2x - x^{2}\cdot(-2)}{(6-2x)^{2}} =\frac{12x-4x^{2}+2x^{2}}{(6-2x)^{2}} =\frac{12x-2x^{2}}{(6-2x)^{2}}.
Para x=2:
\varphi_{1}'(2) =\frac{12\cdot2 - 2\cdot2^{2}}{(6-2\cdot2)^{2}} =\frac{24-8}{(6-4)^{2}} =\frac{16}{4}=4.

Passo 4

Calculamos \varphi_{2}'(x) e avaliamos em x=2.
Escrevendo
\varphi_{2}(x)=\frac{x^{2}}{7-2{,}5\,x},
temos
\varphi_{2}'(x) =\frac{(7-2{,}5x)\cdot2x - x^{2}\cdot(-2{,}5)}{(7-2{,}5x)^{2}} =\frac{14x-5x^{2}+2{,}5x^{2}}{(7-2{,}5x)^{2}} =\frac{14x-2{,}5x^{2}}{(7-2{,}5x)^{2}}.
Para x=2:
\varphi_{2}'(2) =\frac{14\cdot2 - 2{,}5\cdot2^{2}}{(7-2{,}5\cdot2)^{2}} =\frac{28-10}{(7-5)^{2}} =\frac{18}{4}=4{,}5.

Passo 5

Comparamos os módulos das derivadas no ponto-fixo:
|\varphi_{1}'(2)|=4 \quad\text{e}\quad |\varphi_{2}'(2)|=4{,}5.
Como o fator de contração local é dado por |\varphi'(\bar x)|, a iteração com menor |\varphi'(\bar x)| converge mais rápido.

Resposta

A função \varphi_{1} gera sequência mais rapidamente convergente, pois |\varphi_{1}'(2)|=4<4{,}5=|\varphi_{2}'(2)|.

Exercícios relacionados