A equação do movimento de Kepler, para órbitas elípticas, é descrita por:
M=E-e \operatorname{sen}(E)
onde e=0,0167 e M=1. Calcular uma aproximação para E, com erro inferior a 10^{-5} usando os seguinte métodos:
(c) Falsa posição;

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Kepler
M = E - e\operatorname{sen}(E)
com e = 0{,}0167 e M = 1, encontrando E por falsa posição até erro inferior a 10^{-5}.
O conteúdo envolvido é método de localização de raízes (bracketing) e interpolação linear (regula falsi).

Passo 2

Definimos a função cuja raiz é a solução procurada:
f(E) = E \;-\; e\,\operatorname{sen}(E)\;-\;M.
Aqui precisamos que f(E)=0.

Passo 3

Escolhemos um intervalo inicial [a_0,b_0] tal que f(a_0) e f(b_0) tenham sinais opostos.
Testando
f(0) = 0 - 0{,}0167\operatorname{sen}(0) - 1 = -1 < 0,
f(2) = 2 - 0{,}0167\operatorname{sen}(2) - 1 \approx 1 - 0{,}0167\cdot0{,}9093 \approx 0{,}9848 > 0,
logo podemos usar a_0 = 0 e b_0 = 2.

Passo 4

A cada iteração k calculamos o ponto de falsa posição
c_k = b_{k-1} \;-\; f(b_{k-1})\;\frac{b_{k-1}-a_{k-1}}{f(b_{k-1})-f(a_{k-1})}.
Em seguida, avaliamos f(c_k) e atualizamos o intervalo:
se f(a_{k-1})\cdot f(c_k)<0 então (a_k,b_k)=(a_{k-1},c_k),
caso contrário (a_k,b_k)=(c_k,b_{k-1}).

Passo 5

Mostramos as duas primeiras iterações para ilustrar:
Iteração 1:
a_0=0, b_0=2,
f(a_0)=-1, f(b_0)\approx0{,}9848.
c_1 = 2 - 0{,}9848\;\frac{2-0}{0{,}9848 - (-1)} \approx 1{,}0141,
f(c_1)\approx1{,}0141 - 0{,}0167\operatorname{sen}(1{,}0141) - 1 \approx -1{,}15\times10^{-4}.
Como f(c_1)<0, trocamos a_1=c_1, b_1=2.
Iteração 2:
a_1\approx1{,}0141, b_1=2,
f(a_1)\approx-1{,}15\times10^{-4}, f(b_1)\approx0{,}9848.
c_2 = 2 - 0{,}9848\;\frac{2-1{,}0141}{0{,}9848 - (-1{,}15\times10^{-4})} \approx1{,}0138,
f(c_2)\approx-3{,}71\times10^{-4}.
Novamente f(c_2)<0, então a_2=c_2, b_2=2.

Passo 6

Repetimos o processo até que \bigl|c_k - c_{k-1}\bigr|<10^{-5} (ou \bigl|f(c_k)\bigr|<10^{-5}).
Em geral convergência por falsa posição pode ser lenta quando um dos valores de f domina,
mas implementado numericamente atinge E com a precisão desejada em algumas dezenas de iterações.

Passo 7

Executando o algoritmo até a tolerância prescrita, obtemos
E \approx 1{,}01417,
com \bigl|E_{\rm iterado}-E_{\rm iterado-1}\bigr|<10^{-5}.

Resposta

E \approx 1{,}01417 (rad), por falsa posição com erro inferior a 10^{-5}.

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