A equação do movimento de Kepler, para órbitas elípticas, é descrita por:
M=E-e \operatorname{sen}(E)
onde e=0,0167 e M=1. Calcular uma aproximação para E, com erro inferior a 10^{-5} usando os seguinte métodos:
(c) Falsa posição;
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Kepler
M = E - e\operatorname{sen}(E)
com e = 0{,}0167 e M = 1, encontrando E por falsa posição até erro inferior a 10^{-5}.
O conteúdo envolvido é método de localização de raízes (bracketing) e interpolação linear (regula falsi).
Passo 2
Definimos a função cuja raiz é a solução procurada:
f(E) = E \;-\; e\,\operatorname{sen}(E)\;-\;M.
Aqui precisamos que f(E)=0.
Passo 3
Escolhemos um intervalo inicial [a_0,b_0] tal que f(a_0) e f(b_0) tenham sinais opostos.
Testando
Em seguida, avaliamos f(c_k) e atualizamos o intervalo:
se f(a_{k-1})\cdot f(c_k)<0 então (a_k,b_k)=(a_{k-1},c_k),
caso contrário (a_k,b_k)=(c_k,b_{k-1}).
Passo 5
Mostramos as duas primeiras iterações para ilustrar:
Repetimos o processo até que \bigl|c_k - c_{k-1}\bigr|<10^{-5} (ou \bigl|f(c_k)\bigr|<10^{-5}).
Em geral convergência por falsa posição pode ser lenta quando um dos valores de f domina,
mas implementado numericamente atinge E com a precisão desejada em algumas dezenas de iterações.
Passo 7
Executando o algoritmo até a tolerância prescrita, obtemos
E \approx 1{,}01417,
com \bigl|E_{\rm iterado}-E_{\rm iterado-1}\bigr|<10^{-5}.
Resposta
E \approx 1{,}01417 (rad), por falsa posição com erro inferior a 10^{-5}.