Equação do Movimento de uma Massa Presa a uma Mola
Considere um sistema constituído por uma massa m presa à extremidade de uma mola ideal de constante elástica k, que se move em uma superfície horizontal sem atrito. Seja y(t) o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, a soma das forças que atuam sobre a massa é igual ao produto de sua massa pela aceleração:
m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}=\sum F
As forças que atuam sobre a massa são:
  • a força restauradora da mola, dada pela Lei de Hooke: F_{\text {mola }}=-k y;
  • uma força externa aplicada na extremidade da mola, F(t).
Assim, a equação que descreve o movimento da massa é:
m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+k y=F(t)
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, que modela o movimento forçado de uma massa presa a uma mola.
Em casos mais gerais, quando há resistência do ar ou atrito viscoso proporcional à velocidade, adiciona-se o termo c \frac{d y}{d t}, resultando na forma:
m \frac{d^{2} y}{d t^{2}}+c \frac{d y}{d t}+k y=F(t)
onde:
  • m é a massa do corpo (kg),
  • c é o coeficiente de amortecimento ( \mathrm{N} \cdot \mathrm{s} / \mathrm{m} ),
  • k é a constante da mola ( \mathrm{N} / \mathrm{m} ),
  • F(t) é a força externa aplicada (N),
  • y(t) é o deslocamento da massa em função do tempo (m).
A solução dessa equação descreve o comportamento oscilatório da massa, que pode ser livre (quando F(t)=0 ) ou forçado (quando F(t) \neq 0 ), e pode apresentar amortecimento dependendo do valor de c.
Na equação geral acima do sistema massa-mola, considere m=k=1, c=0,125 e que o deslocamento inicial da massa é y(0)=2 e sua velocidade inicial é nula, isto é, y^{\prime}(0)=0. Além disso, considere que a força externa é a força F(t)=3 \cos (\omega t). Encontre a solução da equação com estes dados iniciais.

Passo 1

O que o problema pede e os dados que temos.
O enunciado pede a solução da equação do movimento
m\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + c\frac{dy}{dt} + k y = F(t)
com os valores dados e as condições iniciais. Os dados fornecidos são:
m=1,\quad k=1,\quad c=0{,}125,\quad F(t)=3\cos(\omega t),
e as condições iniciais
y(0)=2,\quad y'(0)=0.
Portanto a equação que vamos resolver é
\frac{d^{2}y}{dt^{2}} + 0{,}125\frac{dy}{dt} + y = 3\cos(\omega t),
com y(0)=2 e y'(0)=0.

Passo 2

Estratégia de solução (ideia geral) — por que e como vamos proceder.
Para equações lineares com coeficientes constantes a solução geral é a soma da solução homogênea (solução do problema sem a força externa) e de uma solução particular (uma solução forçada que acompanha F(t)):
y(t)=y_{c}(t)+y_{p}(t).
  • y_{c}(t) vem da equação homogênea \;y''+0{,}125y'+y=0; (é o “movimento livre amortecido”).
  • y_{p}(t) é uma solução particular da equação completa com a força 3\cos(\omega t). Como o forçamento é uma combinação de \cos(\omega t) e \sin(\omega t), usamos o método dos coeficientes indeterminados assumindo y_{p}=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).
Vou resolver cada parte passo a passo.

Passo 3

Resolução da parte homogênea y''+0{,}125y'+y=0.
Formamos a equação característica
r^{2} + 0{,}125 r + 1 = 0.
O discriminante é \Delta = 0{,}125^{2}-4 = 0{,}015625 - 4 = -3{,}984375, negativo, logo as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-0{,}125 \pm i\sqrt{3{,}984375}}{2} = -0{,}0625 \pm i\,\omega_{d},
onde definimos
\alpha = 0{,}0625 \quad\text{(coeficiente de amortecimento exponencial)}
e
\omega_{d} = \sqrt{1-\alpha^{2}} = \sqrt{1-0{,}0625^{2}} = \sqrt{0{,}99609375}\approx 0{,}9980469.
A forma real da solução homogênea é então
y_{c}(t) = e^{-\alpha t}\big(A\cos(\omega_{d} t)+B\sin(\omega_{d} t)\big),
isto é
y_{c}(t)=e^{-0{,}0625\,t}\big(A\cos(\omega_{d} t)+B\sin(\omega_{d} t)\big).
Aqui A e B são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois de obter y_{p}.
Comentário didático rápido: \alpha controla a taxa de decaimento exponencial (quanto maior \alpha, mais rápido a oscilação livre se apaga) e \omega_{d} é a frequência angular das oscilações amortecidas (ligeiramente menor que a frequência natural \omega_{0}=\sqrt{k/m}=1 por causa do amortecimento).

Passo 4

Procura da solução particular y_{p} para o forçamento 3\cos(\omega t) por coeficientes indeterminados.
Assumimos
y_{p}(t)=C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t).
Calculamos as derivadas:
y_{p}'(t) = -C\omega\sin(\omega t) + D\omega\cos(\omega t),
y_{p}''(t) = -C\omega^{2}\cos(\omega t) - D\omega^{2}\sin(\omega t).
Substituindo na equação
y_{p}'' + 0{,}125 y_{p}' + y_{p} = 3\cos(\omega t),
agrupando coeficientes de \cos(\omega t) e \sin(\omega t) obtemos o sistema linear para C e D:
coeficiente de \cos(\omega t):
(-\omega^{2}C) + 0{,}125\,(D\omega) + C = 3 \quad\Longrightarrow\quad (1-\omega^{2})C + 0{,}125\,\omega D = 3,
coeficiente de \sin(\omega t):
(-\omega^{2}D) - 0{,}125\,(C\omega) + D = 0 \quad\Longrightarrow\quad -0{,}125\,\omega C + (1-\omega^{2})D = 0.
Escrevendo em forma matricial:
\begin{pmatrix}1-\omega^{2} & 0{,}125\,\omega\\[4pt] -0{,}125\,\omega & 1-\omega^{2}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}C\\[2pt] D\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[2pt] 0\end{pmatrix}.
Determinante comum (denominador) é
\Delta := (1-\omega^{2})^{2} + (0{,}125\,\omega)^{2}.
Usando regra de Cramer obtemos (calculo direto):
C = \frac{3(1-\omega^{2})}{\Delta}, \qquad D = \frac{3\cdot 0{,}125\,\omega}{\Delta} = \frac{0{,}375\,\omega}{\Delta}.
Comentário didático: \Delta é o quadrado da resposta em frequência (denominador usual), e a amplitude do regime forçado será 3/\sqrt{\Delta}; os termos C e D são as componentes em cos e sen dessa resposta estacionária.]

Passo 5

Escrevendo a solução geral antes de aplicar as condições iniciais.
A solução geral é a soma da homogênea e da particular:
y(t)=e^{-\alpha t}\big(A\cos(\omega_{d} t)+B\sin(\omega_{d} t)\big) + C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t),
onde recordando
\alpha = 0{,}0625,\qquad \omega_{d}=\sqrt{1-\alpha^{2}},
\Delta=(1-\omega^{2})^{2} + (0{,}125\,\omega)^{2},
C=\frac{3(1-\omega^{2})}{\Delta},\qquad D=\frac{0{,}375\,\omega}{\Delta}.

Passo 6

Aplicando as condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=0 para determinar A e B.
Avaliamos y(0):
y(0)= e^{0}\big(A\cdot 1 + B\cdot 0\big) + C\cdot 1 + D\cdot 0 = A + C.
Como y(0)=2 temos
A = 2 - C.
Agora y'(t). Derivando a expressão geral:
y'(t) = e^{-\alpha t}\big[-\alpha(A\cos\omega_{d}t + B\sin\omega_{d}t) + (-A\omega_{d}\sin\omega_{d}t + B\omega_{d}\cos\omega_{d}t)\big] \\\ \qquad\qquad{} - C\omega\sin(\omega t) + D\omega\cos(\omega t).
Avalia em t=0:
y'(0) = -\alpha A + B\omega_{d} + D\omega.
Usando y'(0)=0 obtemos
-\alpha A + B\omega_{d} + D\omega = 0 \quad\Longrightarrow\quad B = \frac{\alpha A - D\omega}{\omega_{d}}.
Substituindo A=2-C,
B = \frac{\alpha(2-C) - D\omega}{\omega_{d}}.
Então as constantes da parte homogênea ficam expressas em função de C e D (que por sua vez dependem de \omega):
A = 2 - \frac{3(1-\omega^{2})}{\Delta}, \qquad B = \frac{0{,}0625\big(2 - \dfrac{3(1-\omega^{2})}{\Delta}\big) - \dfrac{0{,}375\,\omega}{\Delta}\,\omega}{\omega_{d}}.

Passo 7

Juntando tudo: expressão final da solução y(t) com as constantes explicitadas.
Substituindo A e B obtidos no passo anterior, a solução completa é
y(t)=e^{-0{,}0625\,t}\Big(\big(2 - C\big)\cos(\omega_{d}t) + \Big(\dfrac{0{,}0625(2 - C) - D\omega}{\omega_{d}}\Big)\sin(\omega_{d}t)\Big) + C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t),
onde
\omega_{d}=\sqrt{1-0{,}0625^{2}}, \quad \Delta=(1-\omega^{2})^{2} + (0{,}125\,\omega)^{2},
C=\dfrac{3(1-\omega^{2})}{\Delta},\qquad D=\dfrac{0{,}375\,\omega}{\Delta}.
Observações finais e intuição:
  • A primeira parte (com o expoente e^{-0{,}0625t}) é a resposta transitória amortecida: ela decai com o tempo por causa do amortecimento c.
  • A parte C\cos(\omega t)+D\sin(\omega t) é a resposta estacionária (regime permanente) que permanece quando o transiente tiver decaído; a amplitude dessa parte é
\frac{3}{\sqrt{\Delta}}=\frac{3}{\sqrt{(1-\omega^{2})^{2}+(0{,}125\,\omega)^{2}}},
e sua fase é dada por \varphi=\arctan\!\big(\dfrac{0{,}125\,\omega}{1-\omega^{2}}\big) (com cuidado no quadrante).
  • Se quiser um número aproximado para \omega_{d}: \omega_{d}\approx 0{,}9980469.

Resposta

y(t)=e^{-0{,}0625\,t}\Big(\big(2 - C\big)\cos(\omega_{d}t) + \Big(\dfrac{0{,}0625(2 - C) - D\omega}{\omega_{d}}\Big)\sin(\omega_{d}t)\Big) + C\cos(\omega t) + D\sin(\omega t),
\text{com }\quad \omega_{d}=\sqrt{1-0{,}0625^{2}},\quad \Delta=(1-\omega^{2})^{2} + (0{,}125\,\omega)^{2},
C=\dfrac{3(1-\omega^{2})}{\Delta},\qquad D=\dfrac{0{,}375\,\omega}{\Delta}.

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