Equação do Movimento de uma Massa Presa a uma Mola
Considere um sistema constituído por uma massa
presa à extremidade de uma mola ideal de constante elástica
, que se move em uma superfície horizontal sem atrito. Seja
o deslocamento da massa em relação à posição de equilíbrio.
De acordo com a Segunda Lei de Newton, a soma das forças que atuam sobre a massa é igual ao produto de sua massa pela aceleração:
As forças que atuam sobre a massa são:
- a força restauradora da mola, dada pela Lei de Hooke:
;
- uma força externa aplicada na extremidade da mola,
.
Assim, a equação que descreve o movimento da massa é:
Essa é uma equação diferencial ordinária linear de segunda ordem, que modela o movimento forçado de uma massa presa a uma mola.
Em casos mais gerais, quando há resistência do ar ou atrito viscoso proporcional à velocidade, adiciona-se o termo
, resultando na forma:
onde:
-
é a massa do corpo (kg),
-
é o coeficiente de amortecimento (
),
-
é a constante da mola (
),
-
é a força externa aplicada (N),
-
é o deslocamento da massa em função do tempo (m).
A solução dessa equação descreve o comportamento oscilatório da massa, que pode ser livre (quando
) ou forçado (quando
), e pode apresentar amortecimento dependendo do valor de
.
Na equação geral acima do sistema massa-mola, considere
e que o deslocamento inicial da massa é
e sua velocidade inicial é nula, isto é,
. Além disso, considere que a força externa é a força
. Encontre a solução da equação com estes dados iniciais.
Passo 1
O que o problema pede e os dados que temos.
O enunciado pede a solução da equação do movimento
com os valores dados e as condições iniciais. Os dados fornecidos são:
e as condições iniciais
Portanto a equação que vamos resolver é
com
e
.
Passo 2
Estratégia de solução (ideia geral) — por que e como vamos proceder.
Para equações lineares com coeficientes constantes a solução geral é a soma da solução homogênea (solução do problema sem a força externa) e de uma solução particular (uma solução forçada que acompanha
):
-
vem da equação homogênea ; (é o “movimento livre amortecido”). -
é uma solução particular da equação completa com a força . Como o forçamento é uma combinação de e , usamos o método dos coeficientes indeterminados assumindo .
Vou resolver cada parte passo a passo.
Passo 3
Resolução da parte homogênea
.
Formamos a equação característica
O discriminante é
, negativo, logo as raízes são complexas conjugadas:
onde definimos
e
A forma real da solução homogênea é então
isto é
Aqui
e
são constantes que vamos determinar usando as condições iniciais depois de obter
.
Comentário didático rápido:
controla a taxa de decaimento exponencial (quanto maior
, mais rápido a oscilação livre se apaga) e
é a frequência angular das oscilações amortecidas (ligeiramente menor que a frequência natural
por causa do amortecimento).
Passo 4
Procura da solução particular
para o forçamento
por coeficientes indeterminados.
Assumimos
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação
agrupando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
e
:
coeficiente de :
coeficiente de
coeficiente de
:
Escrevendo em forma matricial:
Determinante comum (denominador) é
Usando regra de Cramer obtemos (calculo direto):
Comentário didático:
é o quadrado da resposta em frequência (denominador usual), e a amplitude do regime forçado será
; os termos
e
são as componentes em cos e sen dessa resposta estacionária.]
Passo 5
Escrevendo a solução geral antes de aplicar as condições iniciais.
A solução geral é a soma da homogênea e da particular:
onde recordando
Passo 6
Aplicando as condições iniciais
e
para determinar
e
.
Avaliamos
:
Como
temos
Agora
. Derivando a expressão geral:
Avalia em
:
Usando
obtemos
Substituindo
,
Então as constantes da parte homogênea ficam expressas em função de
e
(que por sua vez dependem de
):
Passo 7
Juntando tudo: expressão final da solução
com as constantes explicitadas.
Substituindo
e
obtidos no passo anterior, a solução completa é
onde
Observações finais e intuição:
- A primeira parte (com o expoente
) é a resposta transitória amortecida: ela decai com o tempo por causa do amortecimento . - A parte
é a resposta estacionária (regime permanente) que permanece quando o transiente tiver decaído; a amplitude dessa parte é
e sua fase é dada por
(com cuidado no quadrante).
- Se quiser um número aproximado para
: .