Considere a EDO de 1{ }^{\text {a }} ordem linear não homogênea:
y^{\prime}+p(t) y=q(t)
Se escolhemos o fator integrante
\mu(t)=\exp \left(\int_{t_{0}}^{t} p(s) d s\right)
a solução geral da EDO é dada por
y(t)=\frac{1}{\mu(t)}\left[\int_{t_{0}}^{t} \mu(s) g(s) d s+C\right]
Um exemplo clássico de EDO’s dessa naturaza são as equações de Bernoulli de ordem n=0. A equação de Bernoulli de ordem n é dada pela expressão
y^{\prime}+p(t) y=q(t) y^{n}
que não é linear.
a) Prove que se n \neq 0 e n \neq 1 então a substituição v=y^{1-n} transforma a equação de Bernoulli de ordem n na EDO linear
v^{\prime}+(1-n) p(t) v=(1-n) q(t)
b) Utilizando as informações anteriores, encontre a solução para a equação de Bernoulli (importante em dinâmica populacional)
y^{\prime}=r y-k y^{2}
onde r>0 e k>0 são constantes.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  1. Mostrar que, para a equação de Bernoulli
y^{\prime}+p(t)\,y=q(t)\,y^{n},
quando n\neq 0 e n\neq 1 a substituição v=y^{1-n} transforma a equação numa equação linear de primeira ordem cuja forma devemos provar:
v^{\prime}+(1-n)p(t)\,v=(1-n)q(t).
  1. Usar essa transformação para resolver a equação
y^{\prime}=r y-k y^{2},
com r>0 e k>0.
Informações dadas que vamos usar:
  • A fórmula da transformação proposta v=y^{1-n}.
  • Regra da cadeia e manipulação algébrica.
  • Método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem (que usaremos depois).

Passo 2

Vamos calcular v^{\prime} a partir de v=y^{1-n}. Esta é uma aplicação direta da regra da cadeia. Se v=y^{1-n}, então tratando y como função de t,
v^{\prime}=\frac{d}{dt}\big(y^{1-n}\big)=(1-n)\,y^{(1-n)-1}\,y^{\prime}=(1-n)\,y^{-n}\,y^{\prime}.
Explico passo a passo: (1-n) vem do expoente aplicando a regra do poder; y^{(1-n)-1}=y^{-n} e multiplicamos por y^{\prime} por causa da cadeia.

Passo 3

Isolamos y^{-n}y^{\prime} da expressão anterior porque ele aparece naturalmente na equação de Bernoulli. Da expressão de v^{\prime} temos
y^{-n}y^{\prime}=\frac{1}{1-n}\,v^{\prime}.
Agora escrevemos a equação de Bernoulli original
y^{\prime}+p(t)y=q(t)y^{n}
e dividimos toda a equação por y^{n} (isso é válido porque estamos no caso n\neq 0 e consideramos soluções com y\neq 0 localmente):
y^{-n}y^{\prime}+p(t)\,y^{1-n}=q(t).
Reconhecemos na segunda parcela y^{1-n} exatamente v. Substituindo y^{-n}y^{\prime} pela expressão em termos de v^{\prime} obtemos
\frac{1}{1-n}\,v^{\prime}+p(t)\,v=q(t).

Passo 4

Multiplicando a última igualdade por 1-n (lembrando que 1-n\neq 0 por hipótese) ficamos com
v^{\prime}+(1-n)p(t)\,v=(1-n)q(t),
que é exatamente a forma linear que tínhamos de provar. Assim a substituição v=y^{1-n} transforma a Bernoulli numa EDO linear de primeira ordem para v.
Mini-aula curta sobre o que acabamos de usar: a ideia é transformar um termo não linear q(t) y^{n} em algo independente de potências de y dividindo por y^{n} e usando uma potência escolhida de y ( y^{1-n}) cuja derivada envolve y^{-n}y'. Esse artifício “lineariza” a equação.

Passo 5

Agora lembro o método para resolver uma equação linear de primeira ordem da forma
v^{\prime}+P(t)\,v=Q(t).
O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int P(t)\,dt\Big).
Multiplicando a equação por \mu(t) obtemos (\mu v)^{\prime}=\mu Q, e então a solução geral é
v(t)=\frac{1}{\mu(t)}\left[\int \mu(t)\,Q(t)\,dt + C\right].
No nosso caso P(t)=(1-n)p(t) e Q(t)=(1-n)q(t), então
\mu(t)=\exp\!\Big(\int (1-n)p(t)\,dt\Big)=\exp\!\Big((1-n)\int p(t)\,dt\Big).
Portanto a solução para v é
v(t)=\frac{1}{\mu(t)}\left[\int \mu(t)\,(1-n)q(t)\,dt + C\right].

Passo 6

Voltando para y: lembrando que v=y^{1-n}, obtemos a solução geral de y pela relação inversa
y(t)=v(t)^{\frac{1}{1-n}}.
Isso encerra a resolução do item (a): a transformação e o procedimento geral para recuperar y.

Passo 7

Agora aplicamos tudo ao caso explícito da parte (b):
y^{\prime}=r y-k y^{2}.
Escrevo no formato padrão y^{\prime}+p(t)y=q(t)y^{n}. Como r e k são constantes, uma forma conveniente é
y^{\prime}-r y = -k y^{2},
logo identificamos p(t)=-r, q(t)=-k e n=2. Note que n=2\neq 0,1, então a transformação vale. Tomamos
v=y^{1-n}=y^{1-2}=y^{-1}=\frac{1}{y}.

Passo 8

Calculo v^{\prime} diretamente (ou uso a fórmula geral): v^{\prime}=(1-n)y^{-n}y'=(1-2)y^{-2}y'=-y^{-2}y'. Mas eu prefiro substituir na equação já de forma direta como no passo 3. Usando a fórmula do item (a) com 1-n=-1, p(t)=-r, q(t)=-k obtemos a equação linear para v:
v^{\prime}+(1-n)p(t)\,v=(1-n)q(t)
que com os valores dados vira
v^{\prime}+(-1)(-r)\,v = (-1)(-k).
Simplificando os sinais:
v^{\prime}+r\,v=k.

Passo 9

Resolvemos a linear v^{\prime}+r v=k. Aqui r e k são constantes. O fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int r\,dt\Big)=e^{r t}.
Multiplicando por \mu obtemos (e^{r t}v)^{\prime}=k e^{r t}. Integramos:
e^{r t}v(t)=\int k e^{r t}\,dt + C = \frac{k}{r} e^{r t}+C,
onde C é a constante de integração. Dividindo por e^{r t} vem
v(t)=\frac{k}{r}+C e^{-r t}.

Passo 10

Voltamos a y usando v=1/y. Assim
\frac{1}{y(t)}=v(t)=\frac{k}{r}+C e^{-r t}.
Invertemos para obter y:
y(t)=\frac{1}{\dfrac{k}{r}+C e^{-r t}}.
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por r, e renomear a constante C se quisermos; uma forma comum é
y(t)=\frac{r}{\,k + C' e^{-r t}\,},
onde C'=C r é uma constante arbitrária (determinedo por condição inicial, se dada).

Resposta

(a) \;v=y^{1-n} transforma y^{\prime}+p(t)y=q(t)y^{n} em \;v^{\prime}+(1-n)p(t)\,v=(1-n)q(t).
(b) \;y(t)=\dfrac{r}{\,k + C e^{-r t}\,} (com C constante arbitrária).

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