Considere a EDO de
ordem linear não homogênea:
Se escolhemos o fator integrante
a solução geral da EDO é dada por
Um exemplo clássico de EDO’s dessa naturaza são as equações de Bernoulli de ordem
. A equação de Bernoulli de ordem
é dada pela expressão
que não é linear.
a) Prove que se
e
então a substituição
transforma a equação de Bernoulli de ordem
na EDO linear
b) Utilizando as informações anteriores, encontre a solução para a equação de Bernoulli (importante em dinâmica populacional)
onde
e
são constantes.
a) Prove que se
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Mostrar que, para a equação de Bernoulli
quando
e
a substituição
transforma a equação numa equação linear de primeira ordem cuja forma devemos provar:
- Usar essa transformação para resolver a equação
com
e
.
Informações dadas que vamos usar:
- A fórmula da transformação proposta
. - Regra da cadeia e manipulação algébrica.
- Método do fator integrante para equações lineares de primeira ordem (que usaremos depois).
Passo 2
Vamos calcular
a partir de
. Esta é uma aplicação direta da regra da cadeia. Se
, então tratando
como função de
,
Explico passo a passo:
vem do expoente aplicando a regra do poder;
e multiplicamos por
por causa da cadeia.
Passo 3
Isolamos
da expressão anterior porque ele aparece naturalmente na equação de Bernoulli. Da expressão de
temos
Agora escrevemos a equação de Bernoulli original
e dividimos toda a equação por
(isso é válido porque estamos no caso
e consideramos soluções com
localmente):
Reconhecemos na segunda parcela
exatamente
. Substituindo
pela expressão em termos de
obtemos
Passo 4
Multiplicando a última igualdade por
(lembrando que
por hipótese) ficamos com
que é exatamente a forma linear que tínhamos de provar. Assim a substituição
transforma a Bernoulli numa EDO linear de primeira ordem para
.
Mini-aula curta sobre o que acabamos de usar: a ideia é transformar um termo não linear
em algo independente de potências de
dividindo por
e usando uma potência escolhida de
(
) cuja derivada envolve
. Esse artifício “lineariza” a equação.
Passo 5
Agora lembro o método para resolver uma equação linear de primeira ordem da forma
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
obtemos
, e então a solução geral é
No nosso caso
e
, então
Portanto a solução para
é
Passo 6
Voltando para
: lembrando que
, obtemos a solução geral de
pela relação inversa
Isso encerra a resolução do item (a): a transformação e o procedimento geral para recuperar
.
Passo 7
Agora aplicamos tudo ao caso explícito da parte (b):
Escrevo no formato padrão
. Como
e
são constantes, uma forma conveniente é
logo identificamos
,
e
. Note que
, então a transformação vale. Tomamos
Passo 8
Calculo
diretamente (ou uso a fórmula geral):
. Mas eu prefiro substituir na equação já de forma direta como no passo 3. Usando a fórmula do item (a) com
,
,
obtemos a equação linear para
:
que com os valores dados vira
Simplificando os sinais:
Passo 9
Resolvemos a linear
. Aqui
e
são constantes. O fator integrante é
Multiplicando por
obtemos
. Integramos:
onde
é a constante de integração. Dividindo por
vem
Passo 10
Voltamos a
usando
. Assim
Invertemos para obter
:
Podemos simplificar multiplicando numerador e denominador por
, e renomear a constante
se quisermos; uma forma comum é
onde
é uma constante arbitrária (determinedo por condição inicial, se dada).
Resposta
(a)
transforma
em
(b) (com
constante arbitrária).
(b)