Um corpo de massa constante
é projetado da Terra em uma direção perpendicular à superfície da Terra com uma velocidade inicial
. Supondo que não há resistência do ar, mas levando em consideração a variação do campo gravitacional da Terra com a distância, o movimento é modelado pela equação
onde
é a distãncia entre o corpo e a superfície da Terra,
é a contante gravitacional,
é o raio da Terra e
é a velocidade do corpo ao atingir uma distância
da superfície da Terra. A condição inicial é dada por
. Encontre a expressão para
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
com condição inicial
. As informações relevantes são:
- A variável independente é
, que representa a distância do corpo à superfície da Terra. - A incógnita é
, a velocidade do corpo quando está na distância . - Parâmetros constantes:
(massa, mas não aparece na equação), (aceleração grav. na superfície) e (raio da Terra). - A pergunta: encontrar explicitamente
que satisfaça a equação e a condição inicial.
Passo 2
Vamos manipular a equação diferencial de forma a poder integrar. A equação está escrita com
e
; isso permite separar variáveis multiplicando ambos os lados por
:
Explicação didática: escrever
como
é útil porque podemos tratar
e
como diferenciais e passar todos os termos em
para um lado e todos os termos em
para o outro — esse é o método de separação de variáveis para equações de primeira ordem (quando isso é possível).
Passo 3
Agora integramos cada lado: integrar em
do lado esquerdo e em
do lado direito.
Escrevemos a integral generalizada (cada lado com uma constante depois):
Escrevemos a integral generalizada (cada lado com uma constante depois):
Calcule as integrais separadamente.
Para o lado esquerdo:
Aqui usamos a regra básica da integração de potências:
.
Para o lado direito:
A antiderivada de
em relação a
é
(porque a derivada de
é
). Assim
Passo 4
Igualando as duas antiderivadas (podemos agrupar as constantes em uma só constante
):
onde
é uma constante arbitrária a ser determinada pela condição inicial.
Passo 5
Use a condição inicial
para achar
. Substituindo
e
em
obtemos:
Logo
Passo 6
Substituímos
na expressão geral:
Multiplicando por
:
Agora simplificamos o termo que envolve
:
Portanto
Passo 7
Tomando a raiz quadrada, obtemos
. Sobre o sinal: se o corpo foi projetado para cima com
, enquanto sobe sua velocidade (em módulo) diminui e
permanece positivo até atingir o ponto em que a raiz zera (ápice). Se quisermos a velocidade algébrica (com sinal) para trajetórias de ida e volta, devemos escolher o sinal de acordo com o sentido do movimento. Em geral, a solução implícita é
Para o movimento de subida inicial (lançamento para cima) escolhemos o sinal positivo.
Comentário útil: no limite de pequenas alturas
temos
e a expressão reduz-se à fórmula clássica de campo gravitacional uniforme:
o que é um check de consistência física e matemática.