Um corpo de massa constante m é projetado da Terra em uma direção perpendicular à superfície da Terra com uma velocidade inicial v_{0}. Supondo que não há resistência do ar, mas levando em consideração a variação do campo gravitacional da Terra com a distância, o movimento é modelado pela equação
v \frac{d v}{d x}=-\frac{g R^{2}}{(R+x)^{2}}
onde x é a distãncia entre o corpo e a superfície da Terra, g é a contante gravitacional, R é o raio da Terra e v é a velocidade do corpo ao atingir uma distância x da superfície da Terra. A condição inicial é dada por v(0)=v_{0}. Encontre a expressão para v(x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
v\frac{dv}{dx}=-\frac{gR^{2}}{(R+x)^{2}}
com condição inicial \,v(0)=v_{0}. As informações relevantes são:
  • A variável independente é x, que representa a distância do corpo à superfície da Terra.
  • A incógnita é v(x), a velocidade do corpo quando está na distância x.
  • Parâmetros constantes: m (massa, mas não aparece na equação), g (aceleração grav. na superfície) e R (raio da Terra).
  • A pergunta: encontrar explicitamente v(x) que satisfaça a equação e a condição inicial.

Passo 2

Vamos manipular a equação diferencial de forma a poder integrar. A equação está escrita com v e dv/dx; isso permite separar variáveis multiplicando ambos os lados por dx:
v\,dv = -\frac{gR^{2}}{(R+x)^{2}}\,dx.
Explicação didática: escrever v\frac{dv}{dx} como v\,dv/dx é útil porque podemos tratar dv e dx como diferenciais e passar todos os termos em v para um lado e todos os termos em x para o outro — esse é o método de separação de variáveis para equações de primeira ordem (quando isso é possível).

Passo 3

Agora integramos cada lado: integrar em v do lado esquerdo e em x do lado direito.
Escrevemos a integral generalizada (cada lado com uma constante depois):
\int v\,dv = \int -\frac{gR^{2}}{(R+x)^{2}}\,dx.
Calcule as integrais separadamente.
Para o lado esquerdo:
\int v\,dv = \frac{1}{2}v^{2} + C_{1}.
Aqui usamos a regra básica da integração de potências: \int v\,dv = \int v^{1}\,dv = v^{2}/2.
Para o lado direito:
\int -\frac{gR^{2}}{(R+x)^{2}}\,dx = -gR^{2}\int (R+x)^{-2}\,dx.
A antiderivada de (R+x)^{-2} em relação a x é -(R+x)^{-1} (porque a derivada de (R+x)^{-1} é -1\cdot (R+x)^{-2}). Assim
- gR^{2}\int (R+x)^{-2}\,dx = -gR^{2}\cdot\bigl(-(R+x)^{-1}\bigr) + C_{2} = \frac{gR^{2}}{R+x} + C_{2}.

Passo 4

Igualando as duas antiderivadas (podemos agrupar as constantes em uma só constante C):
\frac{1}{2}v^{2} = \frac{gR^{2}}{R+x} + C,
onde C = C_{2}-C_{1} é uma constante arbitrária a ser determinada pela condição inicial.

Passo 5

Use a condição inicial \,v(0)=v_{0} para achar C. Substituindo x=0 e v=v_{0} em \frac{1}{2}v^{2} = \frac{gR^{2}}{R+x} + C obtemos:
\frac{1}{2}v_{0}^{2} = \frac{gR^{2}}{R} + C = gR + C.
Logo
C = \frac{1}{2}v_{0}^{2} - gR.

Passo 6

Substituímos C na expressão geral:
\frac{1}{2}v^{2} = \frac{gR^{2}}{R+x} + \frac{1}{2}v_{0}^{2} - gR.
Multiplicando por 2:
v^{2} = v_{0}^{2} + \frac{2gR^{2}}{R+x} - 2gR.
Agora simplificamos o termo que envolve R:
\frac{2gR^{2}}{R+x} - 2gR = 2gR\!\left(\frac{R}{R+x}-1\right) = 2gR\!\left(\frac{R-(R+x)}{R+x}\right) = 2gR\left(\frac{-x}{R+x}\right) = -\frac{2gRx}{R+x}.
Portanto
v^{2} = v_{0}^{2} - \frac{2gRx}{R+x}.

Passo 7

Tomando a raiz quadrada, obtemos v(x). Sobre o sinal: se o corpo foi projetado para cima com v_{0}>0, enquanto sobe sua velocidade (em módulo) diminui e v(x) permanece positivo até atingir o ponto em que a raiz zera (ápice). Se quisermos a velocidade algébrica (com sinal) para trajetórias de ida e volta, devemos escolher o sinal de acordo com o sentido do movimento. Em geral, a solução implícita é
v(x)=\pm\sqrt{\,v_{0}^{2}-\frac{2gRx}{R+x}\,}.
Para o movimento de subida inicial (lançamento para cima) escolhemos o sinal positivo.
Comentário útil: no limite de pequenas alturas (x\ll R) temos R+x\approx R e a expressão reduz-se à fórmula clássica de campo gravitacional uniforme:
v^{2}\approx v_{0}^{2}-2gx,
o que é um check de consistência física e matemática.

Resposta

\displaystyle v(x)=\pm\sqrt{\,v_{0}^{2}-\frac{2gRx}{R+x}\,}

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