A equação de movimento de uma partícula é
. Determine a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração. Calcule a posição e a velocidade em
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem a equação de movimento de uma partícula dada por $ x(t) = 10 + 2t - 4t^{2} $. A gente vai trabalhar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das coisas. Para resolver essa questão, vamos precisar encontrar:
- A posição inicial da partícula.
- A velocidade inicial.
- A aceleração da partícula.
- A posição e a velocidade da partícula no tempo $ t = 5 $ segundos.
Passo 2
Primeiro, vamos achar a posição inicial. A posição inicial é onde a partícula está quando o tempo $ t = 0 $.
Sabemos que $ x(t) = 10 + 2t - 4t^{2} $. Então, substituímos $ t $ por 0:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a velocidade inicial. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função posição $ x(t) $ em relação a $ t $.
Então, vamos derivar $ x(t) $:
Agora, para a velocidade inicial, colocamos $ t = 0 $:
Passo 4
Seguinte, vamos calcular a aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $.
Derivando $ v(t) = 2 - 8t $:
Então, a aceleração é constante e igual a -8.
Passo 5
Por último, vamos calcular a posição e a velocidade da partícula no tempo $ t = 5 $ segundos.
Para a posição:
Para a velocidade:
Resposta
- Posição inicial: $ x(0) = 10 $ unidades
- Velocidade inicial: $ v(0) = 2 $ unidades por segundo
- Aceleração: $ a = -8 $ unidades por segundo ao quadrado
- Posição em $ t = 5 $ s: $ x(5) = -80 $ unidades
- Velocidade em $ t = 5 $ s: $ v(5) = -38 $ unidades por segundo