A equação de movimento de uma partícula é x(t)=10+2 t-4 t^2. Determine a posição inicial, a velocidade inicial e a aceleração. Calcule a posição e a velocidade em t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem a equação de movimento de uma partícula dada por $ x(t) = 10 + 2t - 4t^{2} $. A gente vai trabalhar com cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento das coisas. Para resolver essa questão, vamos precisar encontrar:
  1. A posição inicial da partícula.
  2. A velocidade inicial.
  3. A aceleração da partícula.
  4. A posição e a velocidade da partícula no tempo $ t = 5 $ segundos.

Passo 2

Primeiro, vamos achar a posição inicial. A posição inicial é onde a partícula está quando o tempo $ t = 0 $.
Sabemos que $ x(t) = 10 + 2t - 4t^{2} $. Então, substituímos $ t $ por 0:
t = 0

Passo 3

Agora, vamos encontrar a velocidade inicial. A velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função posição $ x(t) $ em relação a $ t $.
Então, vamos derivar $ x(t) $:
x(t)
Agora, para a velocidade inicial, colocamos $ t = 0 $:
t

Passo 4

Seguinte, vamos calcular a aceleração. A aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo, ou seja, é a derivada da função velocidade $ v(t) $ em relação a $ t $.
Derivando $ v(t) = 2 - 8t $:
v(t)
Então, a aceleração é constante e igual a -8.

Passo 5

Por último, vamos calcular a posição e a velocidade da partícula no tempo $ t = 5 $ segundos.
Para a posição:
t = 5
Para a velocidade:
x(5) = 10 + 2(5) - 4(5)^2 = 10 + 10 - 100 = -80

Resposta

  • Posição inicial: $ x(0) = 10 $ unidades
  • Velocidade inicial: $ v(0) = 2 $ unidades por segundo
  • Aceleração: $ a = -8 $ unidades por segundo ao quadrado
  • Posição em $ t = 5 $ s: $ x(5) = -80 $ unidades
  • Velocidade em $ t = 5 $ s: $ v(5) = -38 $ unidades por segundo

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