Uma partícula é lançada com velocidade inicial
e ângulo inicial
. Escreva o vetor posição e o vetor velocidade em
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que é lançada com uma velocidade inicial de
e um ângulo de
em relação ao solo. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição e o vetor velocidade dessa partícula no instante
. Para isso, vamos usar os conceitos de cinemática para movimentos em duas dimensões, resolvendo as componentes horizontal e vertical da velocidade e posição.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas suas componentes horizontal (
) e vertical (
). Isso é essencial porque no movimento de projéteis, a componente horizontal permanece constante (já que não há aceleração horizontal), enquanto a componente vertical é afetada pela aceleração da gravidade.
As fórmulas para as componentes são:
onde
e
.
Passo 3
Vamos calcular agora as componentes da velocidade inicial:
Passo 4
Com as componentes da velocidade inicial conhecidas, podemos escrever o vetor posição
no tempo
utilizando as fórmulas da cinemática:
onde
é a aceleração da gravidade.
Substituindo
:
Então, o vetor posição é:
Passo 5
Agora, vamos determinar o vetor velocidade
no mesmo instante
. As componentes da velocidade são dadas por:
Substituindo os valores:
Portanto, o vetor velocidade é:
Resposta
No instante de
, o vetor posição da partícula é
e o vetor velocidade é