Uma partícula é lançada com velocidade inicial 50 m / s e ângulo inicial 40^circ. Escreva o vetor posição e o vetor velocidade em t=5 s.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre o movimento de uma partícula que é lançada com uma velocidade inicial de 50, m/s e um ângulo de 40^circ em relação ao solo. Nosso objetivo é encontrar o vetor posição e o vetor velocidade dessa partícula no instante t = 5, s. Para isso, vamos usar os conceitos de cinemática para movimentos em duas dimensões, resolvendo as componentes horizontal e vertical da velocidade e posição.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial nas suas componentes horizontal ( v0x) e vertical ( v0y). Isso é essencial porque no movimento de projéteis, a componente horizontal permanece constante (já que não há aceleração horizontal), enquanto a componente vertical é afetada pela aceleração da gravidade.
As fórmulas para as componentes são:
v0x = v0 cdot cos(theta)
v0y = v0 cdot sin(theta)
onde v0 = 50, m/s e theta = 40^circ.

Passo 3

Vamos calcular agora as componentes da velocidade inicial:
v0x = 50 cdot cos(40^circ) approx 50 cdot 0,7660 = 38,30, m/s
v0y = 50 cdot sin(40^circ) approx 50 cdot 0,6428 = 32,14, m/s

Passo 4

Com as componentes da velocidade inicial conhecidas, podemos escrever o vetor posição r(t) no tempo t utilizando as fórmulas da cinemática:
x(t) = v0x cdot t
y(t) = v0y cdot t - 12 g t^2
onde g = 9,8, m/s^2 é a aceleração da gravidade.
Substituindo t = 5, s:
x(5) = 38,30 cdot 5 = 191,5, m
y(5) = 32,14 cdot 5 - 12 cdot 9,8 cdot (5)^2 = 160,7 - 122,5 = 38,2, m
Então, o vetor posição é:
r(5) = (191,5, m) , i + (38,2, m) , j

Passo 5

Agora, vamos determinar o vetor velocidade v(t) no mesmo instante t = 5, s. As componentes da velocidade são dadas por:
vx(t) = v0x
vy(t) = v0y - g t
Substituindo os valores:
vx(5) = 38,30, m/s
vy(5) = 32,14 - 9,8 cdot 5 = 32,14 - 49 = -16,86, m/s
Portanto, o vetor velocidade é:
v(5) = (38,30, m/s) , i + (-16,86, m/s) , j

Resposta

No instante de 5, s, o vetor posição da partícula é
r(5) = 191,5, m , i + 38,2, m , j
e o vetor velocidade é
v(5) = 38,30, m/s , i - 16,86, m/s , j

Exercícios relacionados