A equação de Navier-Stokes (considerando constantes a viscosidade \mu e a densidade \rho ) é dada por
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}=-\nabla P+\mu \nabla^{2} \vec{v}+\vec{f}
(a) Explique o que significa cada termo dessa equação.
(b) Mostre que a Equação de Euler é um caso particular dessa equação.
(c) O que devemos considerar para obtermos as equações que descrevem fluidos estáticos e fluidos estacionários.
(d) Qual é a diferença entre estático e estacionário?

Passo 1

O enunciado apresenta a equação de Navier–Stokes para um fluido newtoniano de viscosidade constante \mu e densidade constante \rho:
\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla P + \mu\,\nabla^2\vec{v} + \vec{f}.
Conteúdo: mecânica dos fluidos (dinâmica). Vamos precisar dos conceitos de derivada material (aceleração do fluido), forças de pressão, viscosidade e forças de corpo.

Passo 2

Interpretação do termo à esquerda, \displaystyle \frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + (\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}. Esse conjunto é justamente a derivada material ou aceleração do fluido:
\frac{D\vec{v}}{Dt} = \underbrace{\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}}_{\substack{\text{variação local}\\text{no tempo}}} + \underbrace{(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v}}_{\substack{\text{variação convectiva}\\text{devido ao movimento}}}.çãçã

Passo 3

Interpretação dos termos à direita:
\nabla P: força de pressão por unidade de volume, aponta do alto para baixo do gradiente de pressão.
\mu\,\nabla^2\vec{v}: força viscosa (ou difusão de momento) que tende a “alisar” o campo de velocidades.
\vec{f}: forças de corpo (por exemplo gravidade \rho\,\vec{g}) atuando em todo volume de fluido.

Passo 4

(b) A equação de Euler descreve um fluido inviscid (sem viscosidade). Basta anular o termo viscoso:
\mu=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{D\vec{v}}{Dt} = -\nabla P + \vec{f},
que é exatamente a forma da equação de Euler, permitindo ainda forças de corpo \vec{f}.

Passo 5

(c) Para obter as equações de:
fluido estático: não há movimento, logo
\vec{v}=\vec{0}\implies\frac{D\vec{v}}{Dt}=0.
Substituindo em Navier–Stokes (ou Euler invíscido) fica
-\nabla P + \vec{f} = \vec{0},
que é a equação de equilíbrio estático (hidrostática).
fluido estacionário: o campo de velocidades não varia no tempo, ou seja
\displaystyle\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=0,
mas pode haver movimento ( \vec{v}\neq\vec{0}). A equação reduz-se a
(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} = -\nabla P + \mu\nabla^2\vec{v} + \vec{f}.

Passo 6

(d) Diferença entre estático e estacionário:
Estático significa ausência total de movimento ( \vec{v}=\vec{0}).
Estacionário significa que o padrão de fluxo não muda no tempo ( \partial\vec{v}/\partial t=0), mas pode existir escoamento não nulo.

Resposta

(a) \displaystyle\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}+(\vec{v}\cdot\nabla)\vec{v} é a aceleração material; -\nabla P é a força de pressão; \mu\,\nabla^2\vec{v} é a força viscosa; \vec{f} são forças de corpo.
(b) Basta pôr \mu=0 para obter
\displaystyle\frac{D\vec{v}}{Dt}=-\nabla P+\vec{f}, a equação de Euler.
(c) Fluido estático: \vec v=0 \to -\nabla P+\vec f=0. Fluido estacionário: \partial\vec v/\partial t=0 \to (\vec v\cdot\nabla)\vec v=-\nabla P+\mu\nabla^2\vec v+\vec f.
(d) Estático = sem movimento; estacionário = sem variação temporal do escoamento.

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