Considere a equação para um fluido estático onde a única força externa (por volume) é a gravidade \vec{f}=-\rho g \vec{k}, isto é,
-\nabla P-\rho g \hat{k}=0
Mostre que \frac{d P}{d z}=\rho g e que a pressão é constante nas direções x e y.

Passo 1

O enunciado trata do equilíbrio estático de um fluido sujeito apenas à gravidade, cuja densidade é uniforme \rho. A única força de massa agindo por volume é
\vec{f} = -\rho\,g\,\hat{k},
e o equilíbrio exige
-\nabla P - \rho\,g\,\hat{k} = 0.
O objetivo é mostrar que a pressão P não varia em x nem em y e que, ao longo de z, satisfaz
\frac{dP}{dz} = \rho\,g.

Passo 2

Escrevemos o gradiente de P em componentes cartesianas:
\nabla P = \frac{\partial P}{\partial x}\,\hat{\imath} + \frac{\partial P}{\partial y}\,\hat{\jmath} + \frac{\partial P}{\partial z}\,\hat{k}.
Substituindo em
-\nabla P - \rho\,g\,\hat{k} = 0
ficamos com
-\Bigl(\frac{\partial P}{\partial x}\,\hat{\imath} + \frac{\partial P}{\partial y}\,\hat{\jmath} + \frac{\partial P}{\partial z}\,\hat{k}\Bigr) - \rho\,g\,\hat{k} = 0.

Passo 3

Comparemos agora as componentes em \hat{\imath} e em \hat{\jmath}. Em cada uma delas só aparece o gradiente de P, pois a força peso atua apenas em \hat{k}. Assim,
-\frac{\partial P}{\partial x} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial x} = 0,
-\frac{\partial P}{\partial y} = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial y} = 0.
Logo, P não depende de x nem de y.

Passo 4

Na componente \hat{k} temos
-\frac{\partial P}{\partial z} - \rho\,g = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial P}{\partial z} = -\rho\,g.
Se definirmos o eixo z apontando para baixo (convenção clássica em fluidos), então a derivada ao longo de z positivo para baixo fica
\frac{dP}{dz} = \rho\,g.

Passo 5

Concluímos que
1. \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=0 e \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=0, logo a pressão é constante nas direções x e y.
2. \displaystyle \frac{dP}{dz}=\rho\,g ao medir z para baixo, o que é a forma diferencial da lei hidrostática.

Resposta

\displaystyle \frac{dP}{dz}=\rho\,g, e \displaystyle \frac{\partial P}{\partial x}=0,\;\frac{\partial P}{\partial y}=0.

Exercícios relacionados