Considere a equação para um fluido estático onde a única força externa (por volume) é a gravidade
, isto é,
Mostre que
e que a pressão é constante nas direções
e
.
Passo 1
O enunciado trata do equilíbrio estático de um fluido sujeito apenas à gravidade, cuja densidade é uniforme
. A única força de massa agindo por volume é
e o equilíbrio exige
O objetivo é mostrar que a pressão
não varia em
nem em
e que, ao longo de
, satisfaz
Passo 2
Escrevemos o gradiente de
em componentes cartesianas:
Substituindo em
ficamos com
Passo 3
Comparemos agora as componentes em
e em
. Em cada uma delas só aparece o gradiente de
, pois a força peso atua apenas em
. Assim,
Logo,
não depende de
nem de
.
Passo 4
Na componente
temos
Se definirmos o eixo
apontando para baixo (convenção clássica em fluidos), então a derivada ao longo de
positivo para baixo fica
Passo 5
Concluímos que
.
e
, logo a pressão é constante nas direções
e
.
.
ao medir
para baixo, o que é a forma diferencial da lei hidrostática.