1.9.5 A equação de Navier-Stokes da hidrodinâmica contém um termo não-linear (\mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla}) \mathbf{v}. Mostre que o rotacional desse termo pode ser escrito como -\boldsymbol{\nabla} \times[\mathbf{v} \times(\boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{v})].

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v}\bigr] =-\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\bigr].
O conteúdo principal é cálculo vetorial, em particular usar identidades envolvendo gradiente, produto vetorial e rotacional.

Passo 2

Lembramos da identidade vetorial para a derivada de v^2=\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}:
\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}) =2(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v} +2\,\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v}).

Passo 3

Isolando (\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v} obtemos
(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v} =\frac12\,\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}) -\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v}).

Passo 4

Aplicamos o rotacional em ambos os lados:
\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v}\bigr] =\boldsymbol{\nabla}\times\!\Bigl[\tfrac12\,\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}) -\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\Bigr].

Passo 5

Usamos que o rotacional de um gradiente é zero e a linearidade do rotacional:
\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\tfrac12\,\boldsymbol{\nabla}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{v})\bigr] =0,
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\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v}\bigr] =-\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\bigr].

Resposta

\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[(\mathbf{v}\cdot\boldsymbol{\nabla})\mathbf{v}\bigr] =-\boldsymbol{\nabla}\times\bigl[\mathbf{v}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\bigr].

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