1.9.4 Dado que o rotacional de \mathbf{F} é igual ao rotacional de \mathbf{G}, mostre que a diferença entre \mathbf{F} e \mathbf{G} pode ser (a) uma constante e (b) um gradiente de uma função escalar.

Passo 1

O enunciado diz que temos dois campos vetoriais \mathbf{F} e \mathbf{G} tais que
\nabla \times \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{G}.
O conteúdo de matéria envolve propriedades do rotacional (curl), campos irrotacionais e o lema de Poincaré em domínios simplesmente conexos. Vamos mostrar que a diferença \mathbf{F}-\mathbf{G} pode ser (a) um vetor constante e (b) o gradiente de uma função escalar.

Passo 2

Defina o campo
\mathbf{H} = \mathbf{F} - \mathbf{G}.
Como o rotacional é linear, temos
\nabla \times \mathbf{H} = \nabla \times (\mathbf{F} - \mathbf{G}) = \nabla \times \mathbf{F} - \nabla \times \mathbf{G} = \mathbf{0}.
Portanto \mathbf{H} é um campo irrotacional.

Passo 3

(a) Um caso trivial de campo irrotacional é um campo constante. De fato, se \mathbf{C} é um vetor fixo (independente de \mathbf{x}), então
\nabla \times \mathbf{C} = \mathbf{0}.
Logo podemos escolher \mathbf{H} = \mathbf{C}, o que dá
\mathbf{F} = \mathbf{G} + \mathbf{C}.

Passo 4

(b) Mais geralmente, em um domínio simplesmente conexo, o lema de Poincaré garante que todo campo vetorial \mathbf{H} com \nabla \times \mathbf{H}=\mathbf{0} é conservativo, ou seja, existe uma função escalar \varphi tal que
\mathbf{H} = \nabla \varphi.
Dessa forma
\mathbf{F} - \mathbf{G} = \nabla \varphi.

Resposta

(a) \mathbf{F} - \mathbf{G} = \mathbf{C}, onde \mathbf{C} é um vetor constante.
(b) \mathbf{F} - \mathbf{G} = \nabla \varphi, onde \varphi é uma função escalar.

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