1.9.4 Dado que o rotacional de
é igual ao rotacional de
, mostre que a diferença entre
e
pode ser (a) uma constante e (b) um gradiente de uma função escalar.
Passo 1
O enunciado diz que temos dois campos vetoriais
e
tais que
O conteúdo de matéria envolve propriedades do rotacional (curl), campos irrotacionais e o lema de Poincaré em domínios simplesmente conexos. Vamos mostrar que a diferença
pode ser (a) um vetor constante e (b) o gradiente de uma função escalar.
Passo 2
Defina o campo
Como o rotacional é linear, temos
Portanto
é um campo irrotacional.
Passo 3
(a) Um caso trivial de campo irrotacional é um campo constante. De fato, se
é um vetor fixo (independente de
), então
Logo podemos escolher
o que dá
Passo 4
(b) Mais geralmente, em um domínio simplesmente conexo, o lema de Poincaré garante que todo campo vetorial
com
é conservativo, ou seja, existe uma função escalar
tal que
Dessa forma
Resposta
(a)
, onde
é um vetor constante.
(b) , onde
é uma função escalar.
(b)