A equação da onda
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=\lambda^{2} \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Verifique se a função f(x, t)=\sin (x-\lambda t) satisfaz a equação da onda.

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:\n
  • É dada a equação da onda
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=\lambda^{2}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
  • É dada a função
f(x,t)=\sin(x-\lambda t).
  • O pedido é verificar (ou seja, mostrar passo a passo) se essa função satisfaz a equação da onda — isto é, calcular \dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}} e comparar os resultados.

Passo 2

Plano de ação e regra que vamos usar (cadeia / derivação parcial):\n
  • Como f é composição de uma função de uma variável com uma função u(x,t)=x-\lambda t, vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais: se f(x,t)=g(u(x,t)) então
\frac{\partial f}{\partial t}=g'(u)\frac{\partial u}{\partial t}, \qquad \frac{\partial f}{\partial x}=g'(u)\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Para as segundas derivadas usamos a mesma ideia por mais uma aplicação da regra da cadeia. No nosso caso g(s)=\sin s, então g'(s)=\cos s e g''(s)=-\sin s. Vamos aplicar isso explicitamente.

Passo 3

Definir a função interna e calcular suas derivadas parciais:\n
  • Defina
u(x,t)=x-\lambda t.
  • As derivadas parciais de u são simples porque u é linear em x e t:
\frac{\partial u}{\partial x}=1, \qquad \frac{\partial u}{\partial t}=-\lambda.
  • Observe que \dfrac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0, \dfrac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=0 e mistas também são zero, mas não precisamos delas explicitamente aqui.

Passo 4

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial t} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}:\n
  • Como f(x,t)=\sin(u(x,t)) e g'(s)=\cos s, pela regra da cadeia
\frac{\partial f}{\partial t}=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial t}
portanto, usando \dfrac{\partial u}{\partial t}=-\lambda,
\frac{\partial f}{\partial t}=-\lambda\cos(u)=-\lambda\cos(x-\lambda t).
  • Agora derivamos novamente em relação a t. Note que \cos(u) derivado em t -\sin(u)\cdot u_t. Assim
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} =\frac{\partial}{\partial t}\bigl(-\lambda\cos(u)\bigr) =-\lambda\bigl(-\sin(u)\bigr)\frac{\partial u}{\partial t}.
  • Substituindo \dfrac{\partial u}{\partial t}=-\lambda obtemos
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}} =-\lambda\bigl(-\sin(u)\bigr)(-\lambda) =-\lambda^{2}\sin(u) =-\lambda^{2}\sin(x-\lambda t).

Passo 5

Calcular \dfrac{\partial f}{\partial x} e \dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}:\n
  • Pela regra da cadeia em relação a x,
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Como \dfrac{\partial u}{\partial x}=1, temos
\frac{\partial f}{\partial x}=\cos(u)=\cos(x-\lambda t).
  • Agora derivando outra vez em x:
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(\cos(u)\bigr) =-\sin(u)\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
  • Usando \dfrac{\partial u}{\partial x}=1 resulta
\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-\sin(u)=-\sin(x-\lambda t).

Passo 6

Comparar as duas segundas derivadas e concluir:\n
  • Temos
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=-\lambda^{2}\sin(x-\lambda t), \qquad \frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=-\sin(x-\lambda t).
  • Multiplicando a segunda por \lambda^{2}
\lambda^{2}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}=\lambda^{2}\bigl(-\sin(x-\lambda t)\bigr) =-\lambda^{2}\sin(x-\lambda t).
  • Portanto
\frac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=\lambda^{2}\frac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.
Isto mostra que f(x,t)=\sin(x-\lambda t) satisfaz exatamente a equação da onda dada.

Passo 7

Comentário físico e incentivo rápido:\n
  • Interpretando: f(x,t)=\sin(x-\lambda t) é uma onda senoidal que se propaga no eixo x no sentido positivo com velocidade \lambda. Legal, né? Você acabou de verificar com cálculo que essa forma típica de onda é solução da equação da onda.\n
  • Força aí — continuar praticando derivações por cadeia e derivadas parciais vai te deixar bem mais confiante para a prova!

Resposta

Sim: f(x,t)=\sin(x-\lambda t) satisfaz \dfrac{\partial^{2} f}{\partial t^{2}}=\lambda^{2}\dfrac{\partial^{2} f}{\partial x^{2}}.

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