A equação da onda
descreve o movimento de uma onda, que pode ser do mar, de som, luminosa ou se movendo em uma corda vibrante. Verifique se a função
satisfaz a equação da onda.
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede:\n
- É dada a equação da onda
- É dada a função
- O pedido é verificar (ou seja, mostrar passo a passo) se essa função satisfaz a equação da onda — isto é, calcular
e e comparar os resultados.
Passo 2
Plano de ação e regra que vamos usar (cadeia / derivação parcial):\n
- Como
é composição de uma função de uma variável com uma função , vamos usar a regra da cadeia para derivadas parciais: se então
- Para as segundas derivadas usamos a mesma ideia por mais uma aplicação da regra da cadeia. No nosso caso
, então e . Vamos aplicar isso explicitamente.
Passo 3
Definir a função interna e calcular suas derivadas parciais:\n
- Defina
- As derivadas parciais de
são simples porque é linear em e :
- Observe que
, e mistas também são zero, mas não precisamos delas explicitamente aqui.
Passo 4
Calcular
e
:\n
- Como
e , pela regra da cadeia
portanto, usando
,
- Agora derivamos novamente em relação a
. Note que derivado em dá . Assim
- Substituindo
obtemos
Passo 5
Calcular
e
:\n
- Pela regra da cadeia em relação a
,
- Como
, temos
- Agora derivando outra vez em
:
- Usando
resulta
Passo 6
Comparar as duas segundas derivadas e concluir:\n
- Temos
- Multiplicando a segunda por
dá
- Portanto
Isto mostra que
satisfaz exatamente a equação da onda dada.
Passo 7
Comentário físico e incentivo rápido:\n
- Interpretando:
é uma onda senoidal que se propaga no eixo no sentido positivo com velocidade . Legal, né? Você acabou de verificar com cálculo que essa forma típica de onda é solução da equação da onda.\n - Força aí — continuar praticando derivações por cadeia e derivadas parciais vai te deixar bem mais confiante para a prova!
Resposta
Sim:
satisfaz
.